数与图（12）——画椭圆

在高中数学中，椭圆的标准方程写作

本文只讨论方程⑴的情况。

由⑴式可以求出函数y的表达式

这正是我们在绘图程序中需要的表达式。

方程⑴中的a、b称为椭圆的长轴及短轴，表示椭圆在x、y轴正方向上的最大值。描述椭圆的另一个特性是焦点，椭圆有两个焦点，方程⑴的焦点在x轴上，它们的坐标分别为(-c,0)及(c,0)，其中

我们将在绘制椭圆的同时，在坐标轴上标记焦点的位置，以便比较长短轴的比例对焦点位置的影响。

打开上篇文章中的项目，在设计视图中，将“画曲线按钮”改名为“画椭圆按钮”，按钮的显示文本改为“画椭圆”。本文中即将绘制的椭圆其长轴最大为20，短轴小于或等于20，因此坐标系中两个坐标轴的最大值为20，最小值为-20，主间距为5，辅间距为1。按照这样的设定修改8个文本输入框中的显示文本，结果如图1所示。

图1 修改用户界面

图1中显示的1.png是椭圆方程的截图，用图片组件替代原来的“表达式标签”，设置其图片属性为1.png。设水平布局4、水平布局5的高度为自动，屏幕的垂直对齐属性为居上。然后切换到编程视图，开始编写程序。

一、全局变量

声明一个全局变量a，用来保存椭圆方程中a，代码如图2所示。

图2 声明全局变量

二、创建有返回值过程

1、椭圆函数

该过程有四个参数，如图3所示，其中的a、b、x分别对应于方程⑴中的各个量，参数“y大于0”为逻辑值，当该参数取值为真时，返回正的y值，否则返回负的y值。

图3 有返回值过程——椭圆函数

2、椭圆焦点坐标x

该过程返回椭圆焦点的x坐标c（c>0），代码如图4所示。注意这个c值是平面直角坐标系中的值，在调用该值进行绘图时，还要转换成画布坐标系中的值。

图4 有返回值过程——椭圆焦点

三、创建无返回值过程

1、求椭圆坐标列表

这个过程复制于原来的“求绘图坐标列表”过程，不同的是，这里x的最大值刚好与a相等，因此循环变量的取值范围为[-a,a]。代码如图5所示。

图5 无返回值过程——求椭圆坐标列表

2、绘制焦点

该过程分别在椭圆的两个焦点处画一个实心圆，圆的半径为5像素，代码如图6所示。前面提到过，焦点c的值是直角坐标系中的值，此处需要转换为画布坐标系中的值，这一点要格外小心。

图6 无返回值过程——绘制焦点

四、事件处理程序

我们的目标是让a保持不变，让b从20减小到6，减小的幅度为2，针对每一组a、b，绘制一个椭圆，并标记2个焦点。在画椭圆按钮的点击事件中，利用循环语句实现这一目标。为了标明椭圆与焦点的对应关系，每次循环都会改变画笔的颜色。代码如图7所示。

图7 画椭圆按钮的点击事件处理程序

五、测试

测试的结果如图8所示。

图8 测试结果

图中显示了8个椭圆（其中一个是圆）以及x轴上的8对焦点，正如我们期望的，从颜色上可以区分出椭圆与焦点之间的对应关系。当b=20时，椭圆变成了圆，两个焦点重叠在坐标系的原点。当b值在a附近逐渐变小时，焦点迅速远离原点，但当b值在远离a处变小时，焦点远离原点的速度越来越慢。

六、讨论

记得在上高中时，也曾在坐标纸上画过椭圆，但是无论是计算，还是绘图，都不可能像计算机这样精确，对于焦点的位置，始终缺乏直观的认识。直到今天，我才发现，随着b的减小，焦点远离原点的速度也在减小！至于这两者之间的关系，可以用微积分的方法准确地求出，有兴趣的读者不妨试试看。