第十三课：《秒杀反比例压轴》中考数学知识点讲解—反比例与轨迹问题

前言 PREFACE

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原理证明：

若A,B为反比例函数y=k/x一点，△BDA始终为等腰三角形，且DB=DA，则D的轨迹也为反比例函数，则D的反比例函数解析式为:y=(-k/x)*(OD²/OA²)

证明方式可以用K的几何意义来处理，构造一线三等角内容。

典型例题：

1．（2018·遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝6/x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　）

A．y＝﹣6/x                    B．y＝﹣4/x                      C．y＝﹣2/x                    D．y＝2/x

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△BCO /△AOD =1/3，进而得出S△AOD＝3，即可得出答案．

【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵∠BOA＝90°，

∴∠BOC+∠AOD＝90°，

∵∠AOD+∠OAD＝90°，

∴∠BOC＝∠OAD，

又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，

∴△BCO∽△ODA，

∴BO/AO＝tan30°＝√3/3，

∴BCO /△AOD =1/3，

∵1/2×AD×DO＝1/2xy＝3，

∴S△BCO＝1/2×BC×CO＝1/3S△AOD＝1，

∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，

故反比例函数解析式为：y＝﹣2/x．

故选：C．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出S△AOD＝2是解题关键．

同步练习：

1.（2013·湖州校级模拟）如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB＝90°，OA：OB＝1：2，如果点A在反比例函数y＝1/x（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数　y＝﹣4/x（填函数解析式）的图象上运动．

【分析】如图分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b），则ab＝1．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出BD·OD的积，进而得出结果．

【解答】解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，设A（a，b），

∵点A在反比例函数y＝1/x（x＞0）的图象上，

∴ab＝1．

在△OAC与△BOD中，∠AOC＝90°﹣∠BOD＝∠OBD，∠OCA＝∠BDO＝90°，

∴△OAC∽△BOD，

∴OC/BD=AC/OD=OA/OB=1/2，

即b/BD=a/OD=1/2，

∴BD＝2b，OD＝2a，

∴BD·OD＝4ab＝4，

又∵点B在第四象限，

∴点B在函数的图象y＝﹣4/x上运动．

故答案为：y＝﹣4/x．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了相似三角形的判定及性质，用待定系数法求函数的解析式，综合性较强，同学们注意培养自己解答综合题的能力．

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