每日一课丨长春·关于几何动点问题解决中考数学压轴题

前言 PREFACE

姜胜昊老师  专注初中数学压轴

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长春作为吉林省的省会，单独独立出题，题目的难度比省内其他地方都要难。这也体现长春省会教育的独立和先进地方，几何含动点问题作为长春的一个特色，也是成为全国综合几何动点的典范。里面的存在性问题原来发过一系列的内容大家可以参考运用。

实操真题讲解

1．（2020·长春）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．

（1）当点P与点B重合时，求t的值．

（2）用含t的代数式表示线段CE的长．

（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．

（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．

【分析】

（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．

（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．

（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．

（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．

【解答】

解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝4/5．

（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝√AB²+√BC²=√4²+√3²=5

∴sinA＝3/5，cosA＝4/5，

如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP·cosA＝4t，

∴EC＝5﹣4t．

如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cosC＝3/5，

∴EC＝PC·cosC＝3/5（7﹣5t）＝21/5﹣3t．

（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，

如图④中，当点P在线段AB上时，

在Rt△APE中，PE＝PA·sinA＝3t，

∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，

∵PE＝DE，

∴3t＝5﹣6t，

∴t＝5/9

如图⑤中，当点P在线段BC上时，

在Rt△PCE中，PE＝PC·sinC＝4/5（7﹣5t）＝28/5﹣4t，

∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣3/5（7﹣5t）＝5t﹣21/5，

∴28/5﹣4t＝5t﹣21/5，

解得t＝49/45

∵△PDQ是锐角三角形，

∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜5/9或49/45＜t＜7/5

（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，

过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．

∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，

∴BN＝NH，

在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，

∴QG＝4/5PQ＝24/5t，

在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，

∵BC＝BH+CH＝24/5t+24/5t+6/5t＝3，

解得t＝5/18

如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，

过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．

∵QM∥BC，DM＝PM，

∴DH＝2PK，

在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝8/5（7﹣5t），

∴PK＝3/5PQ＝24/25（7﹣5t），

在Rt△DCH中，DH＝4/5DC＝8/5t，

∵DH＝2PK，

∴8/5t＝2×24/25（7﹣5t），

解得t＝6/5，

综上所述，满足条件的t的值为5/18或6/5

【点评】

本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

2．（2019·长春）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．

（1）①AB的长为　25　；

②PN的长用含t的代数式表示为　3t　．

（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；

（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；

（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．

【分析】

（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．

（2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得CP/CA=CQ/BC，即可计算出t的值．

（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．

（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．

【解答】

解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．

∴AB＝AC²+√BC²=√20²+√15²=25

∴sin∠CAB=3/5

由题可知AP＝5t，

∴PN＝AP·sin∠CAB＝5t·3/5=3t．

故答案为：①25；②3t．

（2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，

∵PN⊥AB，

∴PQ∥AB，

∴CP/CA=CQ/BC

由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，

∴（20-5t）/20=5t/15

解得t＝12/7，

即当▱PQMN为矩形时t＝12/7

（3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，

Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，

由（1）题可知：cosA＝sinB=4/5，cosB＝3/5，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．

∴AN＝AP·cosA＝4t，BG＝BQ·cosB＝9﹣3t，QG＝BQ·sinB＝12﹣4t，

∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，

∴0＜3t≤12﹣4t，

∴0＜t≤12/7，

∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．

∴当0＜t≤12/7时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN·NG＝3t·（16﹣t）＝﹣3t²+48t．

Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN时，

即：0＜12﹣4t＜3t，解得：12/7＜t＜3，

▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN的面积S＝1/2 NG(PN+QG)=1/2(16-t)(3t+12-4t)＝1/2t²-14t+96．

综上所述：当0＜t≤12/7时，S＝﹣3t²+48t．当12/7＜t＜3，S＝1/2t²-14t+96．

（4）当过点P（点P不与点A、C重合）且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况Ⅰ．当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN的MN边中点时，

如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，

∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，

NK＝PN·cot∠PKN＝3t·3/4=9t/4，

∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，

∴NH＝GH＝1/2(16-t)，HR＝1/2GM，

∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝1/2GM=1/2(7t-12)．

∴KH＝HR·cot∠HKR＝1/2(7t-12)×3/4=3/8（7t-12），

∵NK+KH＝NH，

∴9/4t+3/8(7t-12)=1/2(16-t)，

解得：t＝100/43，

Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，

∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，

∴HQ＝QR·sin∠QRH＝3t/2·3/5=9t/10

∵PC＝20﹣5t，

∴20﹣5t＝9t/10，解得t＝200/59．

综上所述：当t＝100/43或200/59时，点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点，

【点评】

此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．

3．（2018·长春）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段DC的长；

（2）当点Q与点C重合时，求t的值；

（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．

【分析】

（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；

（2）利用AD+DQ＝AC，即可得出结论；

（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；

（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．

【解答】

解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，

∴AC＝2√3，

∵PD⊥AC，

∴∠ADP＝∠CDP＝90°，

在Rt△ADP中，AP＝2t，

∴DP＝t，AD＝APcosA＝2t×√3/2＝√3t，

∴CD＝AC﹣AD＝2√3﹣√3t（0＜t＜2）；

（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC＝∠DPQ＝60°，

∴∠PQD＝30°＝∠A，

∴PA＝PQ，

∵PD⊥AC，

∴AD＝DQ，

∵点Q和点C重合，

∴AD+DQ＝AC，

∴2×√3t＝2√3，

∴t＝1；

（3）当0＜t≤1时，S＝S△PDQ＝1/2DQ×DP＝1/2×√3t×t＝√3/2t²；

当1＜t＜2时，如图2，

CQ＝AQ﹣AC＝2AD﹣AC＝2√3t﹣2√3＝2√3（t﹣1），

在Rt△CEQ中，∠CQE＝30°，

∴CE＝CQ·tan∠CQE＝2√3（t﹣1）×√3/3＝2（t﹣1），

∴S＝S△PDQ﹣S△ECQ＝1/2×√3t×t﹣1/2×2√3（t﹣1）×2（t﹣1）＝﹣(3√3)/2t²+4√3t﹣2√3，

∴S＝√3/2t²（0＜t≤1）

S= -(3√3)/2t²+4√3t-2√3（1＜t＜2）；

（4）

当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，

∴∠PGF＝90°，PG＝1/2PQ＝1/2AP＝t，AF＝1/2AB＝2，

∵∠A＝∠AQP＝30°，

∴∠FPG＝60°，

∴∠PFG＝30°，

∴PF＝2PG＝2t，

∴AP+PF＝2t+2t＝2，

∴t＝1/2；

当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，如图4，

∴∠QMN＝90°，AN＝1/2AC＝√3，QM＝1/2PQ＝1/2AP＝t，

在Rt△NMQ中，NQ＝MQ/cos30°=2√3/3t，

∵AN+NQ＝AQ，

∴√3+（2√3）/3t=2√3t，

∴t＝3/4，

当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，如图5，

∴BF＝1/2BC＝1，PE＝1/2，PQ＝t，∠H＝30°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BFH＝30°＝∠H，

∴BH＝BF＝1，

在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t，

∴AH＝AP+PH＝AB+BH，

∴2t+2t＝5，

∴t＝5/4，

即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为1/2秒或3/4秒或5/4秒．

【点评】

此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．

4．（2017·长春）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒4/3个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．

（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）

（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；

（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．

【分析】

（1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ＝AC﹣CQ即可解决问题；

（2）分两种情形列出方程求解即可；

（3）①分三种情形a、如图1中，当0＜t＜3/2时，重叠部分是四边形PEQF．b、如图2中，当3/2＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．分别求解即可；

②分两种情形a、如图4中，当DE：DQ＝1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．b、如图5中，当NE：PN＝1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；

【解答】

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，

∴AC＝√AB²-√BC²=√10²-√6²=8

∵CQ＝4/3t，

∴AQ＝8﹣4/3t（0≤t≤4）．

（2）①当PQ∥BC时， AP/AB=AQ/AC，

∴5t/10=(8-4/3t)/8，

∴t＝3/2s．

②当PQ∥AB时，

CQ/CA=CP/CB，

∴（3/4t）/8=[6-3(t-2)]/6，

∴t＝3，

综上所述，t＝3/2s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．

（3）①如图1中，a、当0＜t＜3/2时，重叠部分是四边形PEQF．

S＝PE·EQ＝3t·（8﹣4t﹣4/3t）＝﹣16t²+24t．

b、如图2中，当3/2＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．

S＝S四边形PEQF﹣S△PFN＝（﹣16t²+24t）﹣1/2·4/5[5t-5/4(8-4/3t)]·3/5[5t-5/4(8-4/3t)]=16/3t²+8t-24

c、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形NPBQ．

S＝S四边形PBCF﹣S△FNM＝4/3t[6-3(t-2)]-1/2·[4/3t-4(t-2)]·3/4[4/3t-4(t-2)]=-20/3t²+32t-24

②a、如图4中，当DE：DQ＝1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

则有（4﹣4t）：（4﹣4/31：2，解得t＝3/5

b、如图5中，当NE：PN＝1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

∴DE：DQ＝NE：FQ＝1：3，

∴（4t﹣4）：（4﹣4/3）=1：3，

解得t＝6/5s，

综上所述，当t＝3/5s或6/5s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

【点评】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．

5．（2016·长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝8，∠BAD＝60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E运动的时间为t秒

（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；

（2）求点H与点D重合时t的值；

（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；

（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为　4　；当OO′⊥AD时，t的值为（ 3 ）．

【分析】

（1）由题意知：AE＝2t，由锐角三角函数即可得出EF＝√3t；

（2）当H与D重合时，FH＝GH＝8﹣t，由菱形的性质和EG∥AD可知，AE＝EG，解得t＝8/3；

（3）矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形需要分以下两种情况讨论：①当H在线段AD上，此时重合的部分为矩形EFHG；②当H在线段AD的延长线上时，重合的部分为五边形；

（4）当OO′∥AD时，此时点E与B重合；当OO′⊥AD时，过点O作OM⊥AD于点M，EF与OA相交于点N，然后分别求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得t的值．

【解答】

解：（1）由题意知：AE＝2t，0≤t≤4，

∵∠BAD＝60°，∠AFE＝90°，

∴sin∠BAD＝EF/AE，

∴EF＝√3t；

（2）∵AE＝2t，∠AEF＝30°，

∴AF＝t，

当H与D重合时，

此时FH＝8﹣t，

∴GE＝8﹣t，

∵EG∥AD，

∴∠EGA＝30°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAC＝30°，

∴∠BAC＝∠EGA＝30°，

∴AE＝EG，

∴2t＝8﹣t，

∴t＝8/3；

（3）当0＜t≤8/3时，

此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为矩形EFHG，

∴由（2）可知：AE＝EG＝2t，

∴S＝EF·EG＝√3t·2t=2√3t²，

当8/3＜t≤4时，如图1，

设CD与HG交于点I，

此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为五边形FEGID，

∵AE＝2t，

∴AF＝t，EF＝√3t，

∴DF＝8﹣t，

∵AE＝EG＝FH＝2t，

∴DH＝2t﹣（8﹣t）＝3t﹣8，

∵∠HDI＝∠BAD＝60°，

∴tan∠HDI＝HI/DH，

∴HI＝√3DH，

∴S＝EF·EG﹣1/2DH·HI＝2√3t²﹣1/2√3（3t﹣8）2＝﹣5√3/2t² +24√3t﹣32√3；

（4）当OO′∥AD时，如图2

此时点E与B重合，

∴t＝4；

当OO′⊥AD时，如图3，

过点O作OM⊥AD于点M，EF与OA相交于点N，

由（2）可知：AF＝t，AE＝EG＝2t，

∴FN＝√3/3t，

∵O′是矩形EFHG的对角线的交点，

∴FM＝1/2EG＝t，

∵O′O⊥AD，O′是FG的中点，

∴O′O是△FNG的中位线，

∴O′O＝1/2FN＝√3/6t，

∵AB＝8，

∴由勾股定理可求得：OA＝4√3

∴OM＝2√3，

∴O′M＝2√3﹣√3/6t，

∵FE＝√3t，EG＝2t，

∴由勾股定理可求得：FG²＝7t²，

∴由矩形的性质可知：O′F²＝1/4FG²

∵由勾股定理可知：O′F²＝O′M²+FM²，

∴7/4T²＝（2√3-√3/6t）²+t²

∴t＝3或t＝﹣6（舍去）．

故答案为：t＝4；t＝3．

【点评】

本题考查四边形的综合问题，涉及矩形和菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．