y=(2x^3+208x^2)/(x-1)^2 单调性等性质

※.函数的定义域

∵x-1≠0，

∴x≠1，即函数的定义域为：

(-∞，1)∪(1,+∞）

※.函数的单调性

∵y=(2x^3+208x^2)/(x-1)^2

∴dy/dx

=[(6x^2+416x)(x-1)^2-2(x-1)(2x^3+208x^2)]/(x-1)^4

=[(6x^2+416x)(x-1)-2(2x^3+208x^2)]/(x-1)^3

=[(6x^2+416x)(x-1)-2(2x^3+208x^2)]/(x-1)^3

=x(2x^2-6x-416)/(x-1)^3

=2(x^2-3x-208)/(x-1)^3

令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-208=0.

当x^2-3x-208=0时，有：

(x+13)(x-16)=0,即：

x2=-13.x3=16.

(1).当x∈(-∞，-13]∪[0,1)∪(1,16]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-13,0)∪(16，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(2x^3-6x^2-416x)/(x-1)^3

∴d^2y/dx^2

=[(6x^2-12x-416)(x-1)^3-3(2x^3-6x^2-416x)(x-1)^2]/(x-1)^6

=[(6x^2-12x-416)(x-1)-3(2x^3-6x^2-416x)]/(x-1)^4

=(844x+416)/(x-1)^4

=4(211x+2)/(x-1)^4

令d^2y/dx^2=0,则：

则：211x+2=0，即x=-104/211.

(1).当x∈(-∞，-104/211)时，d^2y/dx^2＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-104/211,1)∪(1，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

※.函数的极限

lim(x→-∞)(2x^3+208x^2)/(x-1)^2=-∞

lim(x→1)(2x^3+208x^2)/(x-1)^2=+∞

lim(x→+∞)(2x^3+208x^2)/(x-1)^2=+∞