2020-2021美国数学人才搜寻(USAMTS) 第三轮-中文翻译
先给出前两轮的链接：
第三轮
1.下图是一个网格表,请将21个两位质数填入表中的白色单元格内, 每个质数仅使用一次.且需满足以下条件:
(1)任意两个相邻的单元格中的数字, 十位不相同, 个位也不相同.
(2)图中部分单元格左上角已经标有数字. 填入该单元格的质数,需至少有一位数字(十位或个位均可)等于左上角所标的数字.
注: 本题目填法唯一, 但无需证明其唯一性.
2.在平面上找出互异的点A,B,C,D,使线段AB的长度为偶数, 线段AC,AD,BC,BD,CD的长度均为奇数.
注:除说明点的坐标和距离外, 请简要介绍一下发现这些点的过程以及计算距离的方式.
3.已知正整数n满足,n的倍数中, 恰有n个正因数的正整数只有有限个.求所有这样的n, 并证明.
4.在n个人组成的一个组织中, 有一些人互相认识.当然， 认识关系是相互的, 即若A认识B, 则B也认识A, 这样我们就将A,B记为互相认识的一对. 已知对正整数k, 该组织具有如下特征: 若将任意20个人移出组织, 则剩下的人中, 互相认识的对的个数不超过原有的互相认识的对的个数的.
(1)若k=41, 求n的所有可能的值.
(2)若k=39, 求n的所有可能的值.
5.给定为正整数. 函数满足如下条件: 若数列为等差数列, 则按一定顺序排列之后, 也为等差数列.(常数列也可).
求所有的正整数n, 使得满足条件的函数必为一次函数, 即存在正整数, 使得
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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。
这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。