巨人的肩膀——数学的模式
作者：张劲松，1972年2月出生，人民教育出版社中学数学室 编审，资深编辑。
巨人的肩膀，一般认为是牛顿所说：“如果说我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上（If I have seen further，it is by standing on the shoulders of giants）”。初中学物理时，我印象很深的还有一句话：“就像海边玩耍的孩子，我有幸捡到美丽的贝壳，而真理的大海我还没有发现。”也是牛顿所说。
现在很多人讲“巨人的肩膀”这个话题，如何理解“巨人的肩膀”？“巨人的肩膀”是什么？
我的理解是，从狭义角度看，不是所有人都能站上巨人的肩膀，能站上巨人肩膀的都是即将成为更伟大巨人的人。从广义角度看，任何成就的取得，无论是科技，还是教育，亦或经济、社会，都是前人基础上的进步，离开前人的铺垫，就没有进步的基础，都是巨人肩膀上的“一小步”，无数的“一小步”汇集成了人类的一大步。此时巨人既是为人类进步做出贡献的一个个具象的人，更泛指人类文明发展的所有成果。
紧接着的话题是，我们如何站到巨人的肩膀上？站到巨人的肩膀上，我们能看到什么？……
毫无疑问，牛顿站在了阿基米德、哥白尼、伽利略、开普勒、笛卡儿、胡克……等巨人的肩膀上，成了更伟大的巨人；而欧拉、高斯、庞加莱、爱因斯坦、霍金……等又站在了牛顿的肩膀上。前人的肩膀成了后人进步的人梯……
从事数学教育的我们，我们心中“巨人的肩膀”是什么，肯定有很多答案。《站在巨人的肩膀上》 一书为我们打开了一扇窗口。这本书是由史树中、李文林主编，龚升、齐民友担任顾问，是上海教育出版社出版的“通俗数学名著译丛”系列图书之一。当时是为了迎接2002年在中国北京召开的国际数学家大会，更好地普及与传播数学的思想和精神，陈省身先生为本套丛书题词“开创新世纪的数学文化”。这本书的英文原版《On the Shoulders of Giants—New Approaches to Numeracy》1990年出版，中译本于2000年出版。
本书以“模式和次序”为统领，讲了数学中五个紧密关联的领域：维数、数量、不确定性、形状、变化，涵盖我们数学学科教育中的代数、函数、几何、统计与概率等内容，给我们提供了“巨人肩膀上”的视角。虽然过去了30年，但书中很多观点现在读来余音绕梁，意犹未尽，对数学教育教学有很大启发。
一、数学的价值
数学是一门古老而常新的科学，它是科学技术的基础，其应用向几乎所有的人类知识领域渗透，直接为人类物质生产与日常生活做作出贡献。 数学是文化，人类文明进步的标志。 只有学习数学，才能了解数学，进而运用数学。 数学科学的核心部分高度抽象化，其深奥的数学理论，复杂的数学方法，大大降低了数学的可接受性。但是一个国家数学普及的程度与该国数学发展的水平相应，并且普及是水平提高的基础。
二、数学的根与土壤
我们需要深入浅出地介绍当代数学的重大成就与应用，循循善诱启迪数学思维与发现技巧，富有哲理地阐释数学与自然或其他学科的联系，窥探现代数学发展的概貌，领略数学文化的丰富多彩。 我们需要向公众阐明在众多的数学分支中根是什么，土壤又是什么。 按照普通人的观点，数学一门静止的学科，它的基础就是中学数学课程中的算术、几何、代数和微积分中教的许多知识；而引导数学发展的不是计算和公式，而是永无止境的搜索模式。 传统上把数学描述为数与形的科学。学校强调算术和几何就深深植根于这种多世纪的认识之中。现在数学不只是讨论数与形，而是讨论各种类型的模式与次序。数与形——算术与几何只不过是数学家在其中研究的诸多媒体中的两个。实际上，一方面我们可以用新的名词概括当代数学的发展，另一方面，也可以对数与形进行新的解读，扩大它的内涵与外延，进行内涵式发展。 借助于现代技术，特别是计算机，很多数学成就可以靠真正亲眼所见来引导，而像高斯和庞加莱那样的19世纪数学巨人不得不依赖他们心灵的眼睛来看。我“看见了”总有两种不同的意义：眼睛看见和内心理解。几个世纪以来，在数学实践的阶层体系中，心灵支配着眼睛。
三、数学教育是泵，不是筛子
数学教育争论的关键是教什么基础以及如何教，什么是真正的基础。数学教育是泵，不是筛子。 学校数学常常被看成人力资源的管线（选拔人才），它是儿童时代的经验流向科学的生涯。数学课程的各层面对应于管子越来越窄的截面，假如他们要在数学和科学教育上有所进步的话，就必须通过这些截面。任何学习上的障碍都会限制水流在整个管线中流动，而这种障碍相当多，就像血液中的胆固醇一样，数学也会堵塞国家教育的动脉。反之，如果数学课程以多重并行线索为特征，每一条线索都奠基于适当的儿时经验，那么人力资源的流动就更像大树的根中营养物运动或从广大流域冲出的水流，而不像一个越来越狭窄的动脉和管线那样受到局限。
四、提供数学的模式
不仅仅是水平的极少的几条线索排列，而是需要更具有垂直的连续性，使得在孩子的教育经验中能把数学的根与数学的分支联系在一起。 许多数学都能早在孩子们达到理解代数公式之前，就能通过诸多直观经验的活动不拘形式地掌握了，这为科学探索，更正式、逻辑上更精确的数学提供了准备。 测量这个问题是基本的，看起来简单却微妙，初等却困难。学生认识到了测量的复杂性，长大以后再碰到通常对数学和统计的错误的使用就不再会那么不加考虑地接受下来。 可视化的核心，是利用投影等几何工具把三维图象表示在二维的平面上，而这始终是“所看非所见”。 算法是计算的处方。 开发课程的人需要有先见之明，更需要站在巨人的肩膀上。 300年前由欧几里得的证明转变为牛顿的分析；不确定性不是偶然的，因为最终要出现规律性；决定性现象常常显示出随机的行为。 人们用数学语言干的事就是描述模式，学习数学主要不在于开发什么样的特殊的模式，而在于这些线索中所呈现的充分多样性和深度，通过鼓励学生开发那些业已证明具有威力和意义的模式，我们为他们提供广阔的肩膀，站在肩膀之上，他们就能比我们看得更远。
本文是我概述的本书简要内容，以及自己的点滴认识。后面我结合对数学课程的认识，数学教材编写以及数学教学研究，详细阐释我对这本书提及的五种模式——维数、数量、不确定性、变化、形状的理解，期望能够帮助教师更好地了解数学，认识数学，运用数学，掌握数学，进而在讲授数学中，让学生学好数学。让学生认识巨人的肩膀，能够让他们站上巨人的肩膀，登高望远，成为未来更伟大的巨人。