【专题提升】等腰三角形存在性问题
几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型,等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及,本系列从等腰三角形开始,逐一介绍各种问题及常规解法.如图,点A坐标为(1,1),点B坐标为(4,3),在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形.
(1)以点A为圆心,AB为半径作圆,与x轴的交点即为满足条件的点C,有AB=AC;(2)以点B为圆心,AB为半径作圆,与x轴的交点即为满足条件的点C,有BA=BC;(3)作AB的垂直平分线,与x轴的交点即为满足条件的点C,有CA=CB.
作图并不难,问题是还需要把各个点坐标算出来,可通过勾股或者三角函数来求.
显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目,如果A、B均往下移一个单位,当点A坐标为(1,0),点B坐标为(4,2)时,可构造直角三角形勾股解:
(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线 段长得点坐标.(3)分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC;(2)一定两动:两动点必有关联,可表示线段长度列方 程求解;(3)三动点:分析可能存在的特殊边、角,为突破口.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax²+bx+c交x轴于点A(-4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在请说明理由.
【补充】“代数法”用点坐标表示出线段,列方程求解亦可以解决.2)(-2/3,50/3),最大50/3如图,抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.(2)过点P作PM⊥轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
如图所示,二次函数y=k(x-1)²+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值.
如图,已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).(2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点,PH⊥x轴于点H,与线段BC交于点M,连接PC.当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-4/9x²+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0).(2)如图,连接AD、BD,点M在线段AB上(不与A、B重合),作∠DMN=∠DBA,MN交线段AD于点N,是否存在这样点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.
如图,直线y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=-x²+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒根号2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.(2)如图,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值.