2021大庆中考数学第27题：关于圆的综合题，结合勾股和三角函数等

这是今年大庆市中考数学卷的第27题，全卷一共有28题，题量稍多，题又比较难，对考生的考验还是蛮大的。

如图, AB是⊙O的直径. BC是⊙O的弦. 弦ED垂直AB于点F, 交BC于点G. 过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P.

(1)求证PC=PG;

(2)判断PG^2=PD·PE是否成立？若成立, 请证明该结论.

(3)若G为BC中点, OG=根号5, sinB=5分之根号5, 求DE的长.

分析：原题给了两个图，其实我们只需要第二个图就够了。

(1)可以通过求证∠PGC=∠PCG来实现。

证明：(1)连接OC, 则∠OCP=∠OCB+∠PCG=90度,(这是切线的性质，切线垂直于过切点的直径)

∵ED⊥AB, ∴∠OBC+∠BGF=90⁰,

∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB,

∴∠PCG=∠BGF, （依据是等角等余）

又∠PGC=∠BGF,（它们是对顶角）

∴∠PGC=∠PCG,

∴PC=PG.

分析：(2)如果你知道切割线定理，这道题就非常简单。

解：(2)PG^2=PD·PE, 理由如下：

根据切割线定理，PC^2=PD·PE, (否则就要连接CE, CD, 证明△CPD∽△ECP, 但这里又要用到弦切角定理，否则又要证明弦切角定理，特别麻烦。所以以前课本有的定理，现在被删除了，也一样必须掌握，解答题证明题中，说明一下就可以了)

在(1)中, 已证PC=PG,

∴PG^2=PD·PE.

分析(3)：这里需要兜一个大圈，除非你有其它更好的方法。可以说一旦辅助线超过两条，就是很多学生的噩梦，平时要多练画辅助线，画辅助线就是一个尝试错误的过程。

解：(3)连接BD, AD, OG, 则OG⊥BC, （这是垂径定理的逆定理）

sinB=OG/OB, OB=OG/sinB=5.

由ED⊥AB, 有OG^2=OF·OB=5, （这是直角三角形BOG被高OG划分成的子母相似三角形的边的关系）

OF=5/OB=1, BF=OB-OF=4.

又BD^2=BF·AB=2BF·OB=40.(这也是直角三角形ABD被高DF划分成的子母相似三角形的边的关系)

在Rt△BDF中, DF=根号内(BD^2-BF^2)=2倍根号6，

∴DE=2DF=4倍根号6.

象这种类型的题目，肯定是三角函数，相似三角形，勾股定理的综合应用，相当于解直角三角形，这三个知识点是三位一体的。