解题技巧:突破零点问题难点的放缩与分离方法
含参函数的零点问题是高考的重要题型.此类题型学生入手容易推进难,笔者以为有下几个原因:一是方法选择不当导致耗时费力;二是用零点存在定理时端点选取存在困难;三是不能合理利用化归等手段使问题简单化、熟悉化.本文举例梳理常用方法,探究难点突破的途径,以期抛砖引玉.
一、方法梳理
例1 已知函数
有一个零点,则a的取值范围是______.
分析 本题入手较宽,这里通过一题多解揭示处理这类问题的常用方法.
解法1 f(x)=0等价于exx=a(x>0).作y1=xex(x>0)与y2=a的图象,由
易知函数y1=xex在(0,+∞)单调增,又x→+∞时,y1→+∞,由图1易得a>0.
评注 参数分离法适用于参数分离较方便,且分离后的函数不太复杂的相应问题.使用的关键是作好函数的图象,数形结合解决问题,适用范围相对较宽.
解法2 方程f(x)=0有一个根,即y=ex与
的图象有一个交点. 由图2易知方程在a=0时显然无根;在a>0时有1个根;在a<0时无根.所以a>0.
评注 函数分离法适用于两函数图象都能轻松作出,适用范围相对较窄.
解法3 问题等价于方程
有一个根.
当a≤0时,方程显然无根.
当a>0时,
在(0,+∞)单调增, f(x)至多有1个零点.又f(a)=ea-1>0,取
由ex>x+1(证明略)知
故f(x)在(x0,a)仅有1个零点.
综上,所求a>0.
评注 零点定理法适用范围较广,使用的关键是过好讨论关、取点关.
二、难点突破
对比分析例1 的解法,不难看出解法1、解法2形象直观、方便快捷,可回避繁琐的分类讨论;解法3虽复杂,但有零点定理支撑,是解决此类问题的基本方法.从严谨角度讲,无论使用哪种方法都离不开零点存在定理的使用,而使用时如何取点的问题是一个公认的难题.
解法3中在零点左侧的取点用了放缩法,其目的是把超越函数转化为多项式函数,便于求解不等式. 如图3、图4,常见的放缩工具有ex≥x+1>x>x-1,ln x≤x-1<x<x+1,ex>x2+1>x2(x>0).本文归纳了难点破解的几种策略,供大家参考.
策略1 曲直互化 进行放缩
以例1解法3中a>0情形为例,零点右侧的取点可做得更美观:由ex>x(化曲为直),得
取
则
时,有
零点左侧的取点:要f(x)<0,由x <ex(化直为曲),只要
而e2x=a在x>0时可能无解,说明放缩过大;调整放缩幅度,由x+1<ex,得x<ex-1,故
令e2x-ex-a≤0,解得
即
故相应取
时,有f(x2)<0.至此,由零点定理获解.
策略2 曲曲互化 进行放缩
例2 已知函数 f(x)=ex-kx (k>e,x>0),证明:函数 f(x)存在两个零点.
解 由f ′(x)=ex-k,易见x∈(0,ln k)时, f ′(x)<0, 函数f(x)单调减;x∈(ln k,+∞)时, f ′(x)>0,函数f(x)单调增.所以f(x)min=f(ln k),且由f(ln k)=k(1-ln k)<0,只要考虑在极值点两侧取到函数值为正的点.
由ex>x2(化曲为曲),得f(x)>x2-kx,根据x2-kx=0,取x1=k>ln k,则f(x1)>0, f(x)在(ln k,k)有1个零点;由ex>x+1(化曲为直),得ex-kx>x+1-kx,根据x+1-kx=0,取
k,则f(x2)>0,f(x)在
有1个零点.综上,得证.
评注 本题也可由ex>x2+1(化曲为曲),得ex-kx>x2+1-kx,令x2+1-kx=0,得
则有f(x1)>0, f(x2)>0,且0<x1<ln k<x2,问题同样可获证.
反思 极值点右侧取点时为何不用ex>x,ex>x+1呢?从图5看,在点D(对应大零点)的右边,y=x,y=x+1与y=ex的图象是渐行渐远的,用这两个就会产生放缩过大.而在极值点左侧取点时为何不用ex>x,ex>x2呢?从图5发现,在点A(对应小零点)的左边,y=x,y=x2与y=ex的图象相距较远,而y=x+1,y=x2+1与y=ex的图象更逼近,故放缩时需综合考虑，适度放缩.
此类问题,取点步骤可总结为:
设函数f(x)零点为x0, f(x)在区间M单调增, f(x)>(<)0的解集为A.则
(1)缩小f(x)>g(x),解g(x)≥0得x∈N1,则在x0右侧取点x1∈N1∩A,可得f(x1)>0.
(2)放大f(x)<h(x),解h(x)≤0得x∈N2,则在x0右侧取点x2∈N2∩A,可得f(x2)<0.
当f(x)在区间M单调减时,只要将步骤(1)(2)对调即可.放缩的目标是寻找f(x)>(<)0的充分条件,放缩函数需满足:① g(x)≥0,h(x)≤0易于求解;② 当x趋向于定义域左(右)端点时, f(x)与g(x),h(x)的图象变化趋势相同且要相对逼近.
策略3 变形拓展 观察取点
由于函数零点问题转化为方程根的问题,我们将方程适当变形,使新方程对应的函数在原函数端点定义域端点处要有意义(即扩大定义域)且非零点，则使取点会更方便.
如例1解法3中a>0时的解法可改进为:由f(x)=0变形得exx-a=0,故问题等价于函数g(x)=exx-a(x≥0)有1个零点.此时在g(x)零点的左侧可取点x1=0,得g(0)=-a<0;右侧由ex>x取点
得
问题可获证.
再如例2中,因为f(0)≠0, f(x)=0(x>0)的根等价于f(x)=0(x≥0)的根,在极值点左侧可取点x1=0,得f(0)=1>0;右侧取点同上,问题可获证.
策略4 参变分离 间接放缩
例3 已知函数f(x)=ex-ax2(x>0)存在两个零点,求a的取值范围.
解 因为f(x)=0等价于
令
则
易知g(x)在(0,2)单调减,在(2,+∞)单调增,g(x)有最小值.故f(x)有两个零点的必要条件是g(x)min=g(2)<0,解得a>
下面证明
的充分性.
一方面,当
时,g(2)<0.另一方面,因ex>x2,ex>x(证明过程略),有
由
解得
取
则g(x1)>0,g(x)在(2,x1)必有一个零点.又由
解得
取
则g(x2)>0,g(x)在(x2,2)必有一个零点.
综上,
评注 由图6可看出在极值点左侧取点时,选择x2+1,x进行放缩皆可,难点在极值点右侧取点在极值点右侧,由于右零点较大,而x2+1,x与ex渐行渐远,原因是ex增长速度要比x2+1及x要大得多,故这时需要调整一个幂指数更高的函数与ex匹配.
策略5 参变分离 值域放缩
例4 (2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)略.
解 当x=1时, f(x)≠0;当x≠1时,f(x)=0等价于
令函数
则导函数
由x2-4x+5恒大于0,易得g(x)在(-∞,1)单调增,在(1,+∞)单调减.
当a≤0,x∈(-∞,1)时,g(x)>0,即g(x)=0无解;当x∈(1,+∞)时,由g(x)为减函数,得g(x)=0至多有1根,不合题意.
当a>0,x∈(-∞,1)时,一方面,由ex>x(证明略),令
可得
再结合x∈(-∞,1),得
此时取x1=
则g(x1)>0.
另一方面,设u=(2-x)ex(值域放缩),则u′=2(1-x)ex>0,u单调增,得
令
得
再结合
此时可取
则g(x2)<0, f(x)在(x2,x1)内有1个零点.
当a>0,x∈(1,+∞)时,取
由上知g(x3)>0;结合g(2)=-a<0,得f(x)在(x3,2)有1个零点;故a>0时, f(x)时有2个零点.
综上,a>0.
评注 本题的难点是在小的零点左侧取点,需要把g(x)放大处理,动ex只能缩小,动其它部位也很困难,故通过u=(2-x)ex使值域整体放大,继而再次放大,方便了计算.