压轴题打卡136：二次函数有关的动点综合题

如图1，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为﹣8、2．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．

①求点P的运动路程；

②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析;

（1）利用tan∠ABC=3，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式；

（2）①当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，则P的运动路程为△ABC的中位线HK，再利用勾股定理得出答案；

②首先利用等腰三角形的性质得出∠PAE=∠PEA=∠EPD/2，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF/2，进而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即可得出答案；

（3）首先得出C_△PEF=AD+EF，进而得出EG=3PE/5，EF=6PE/5=3AD/5，利用C_△PEF=AD+EF=（1+3/5）AD=8AD/5，得出最小值即可．