每周中考题：初中数学竞赛题

如图，已知P是正方形ABCD内一点，过P分别作边BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，若AP⊥MN，证明：AP=MN或AP⊥BD；

看到这道题要证明的结论，有没有感到很崩溃，证明一个不就行了，为什么还要弄两个情况，这样还得出两个过程。

有同学看不懂题目？

AP=MN或AP⊥BD啥意思？就是二者必定有一个成立，说白了，就是两种情况都可以，但是需要分别证出两种情况；

先看第一个AP=MN吧，

首先AP⊥MN这个条件要利用一下，既然垂直，但是没有相交，

那么就延长一下AP，让它们相交于点E吧，并且交CD于F，

如图，那么目前可得的有∠PAD=∠PMN=∠CNM，

那么要证明AP=MN，是不是要证明全等呢？

延长MP交AD于H，

如果△CNM≌△HAP，那么就好说了，但是我们只有角相等，没有一条边相等，那么该如何是好呢？

到目前为止，我们只有角相等，那么是不是要利用角相等去推导边相等呢？

好像挺难，

但是，仔细想一下，这种类型也是大家以前遇到过的，不应该难才对，可能是我们的这条思路不太好。

那么，注意这里CNPM是矩形，矩形有什么性质？

对角线相等，所以我们连接CP，则CP=MN，

同时，还有∠PCN=∠CNM=∠PAD，

这样一来，我们好像就可以看到希望了，

∠PCN=∠PAD，不就是角平分线上的点吗？

那么我们连接PD，

可以证明△PCD≌△PAD了，那么PC=PA，

即PA=MN；

那么要证明AP⊥BD这种情况，

我们连接BD看看，

根据前面的内容，我们知道AP=MN的时候，点P在BD上，

那如果AP≠MN的时候，是否会有AP⊥MN呢？

当然有了，

前面的内容，我们是将CNPM看做矩形，那么矩形也有可能变成正方形，

所以当CNPM为正方形时，

点P就在对角线AC上了，

那么只要点P不在BD上，就只有AP⊥MN，却没有AP=MN了，

所以，当AP⊥MN时，要么AP=MN，要么AP⊥BD；