每周高考题：数学

已知抛物线C：y²=2x，过点（2,0）的直线l交C于A、B两点，圆M是以线段AB为直径的圆，

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程；

（1）要证明点O在M上，那么只需要OA⊥OB即可，

所以我们只需要得到OA和OB的斜率即可，

直接假设直线l的解析式y=kx-2代入抛物线

可得k²x²-（4k²+2）x+4k²=0

代入x得到关于y的方程也行，最终都是一样的

根据韦达定理可得xA·xB和xA+xB

并且结合原解析式得yA·yB，

再根据kOA·kOB=-1

可以证明∠AOB=90°

直径所对的圆周角为90°，所以O在M上；

（2）给出了已知坐标P，且P在M上，

所以可得PA⊥PB，

结合上一问的A和B的坐标关系

可以解出直线l的斜率k为-2或者1

那么当k=-2时，圆心M（4.5，-0.5），搞定半径可得圆的方程

（x-4.5）²+（y+0.5）²=84/16

当k=1时，圆心M（3,1），

可得圆的方程为（x-3）²+（y-1）²=10；

整个过程中只有计算费点时间，方法倒是很容易解决。