挑战压轴题：中考数学-图形与坐标系

今天这道题的难点主要在第三问，前两问属于常见的问题。

这道题前两问纯属送分部分，第三问直接写出结果，肯定避免不了大量的思考和计算，而且这个探究过程肯定会消耗同学们大量的脑细胞，而且还不一定能够找对方向，那么看看如何解决吧，

（1）如图1，OA、OF都能得到，所以AE'就可以求出来，同理BF'也是；

（2）在图形旋转过程中，最容易出现的就是三角形的全等，所以只需要△AOE'≌△BOF'即可，条件也很容易找到（SAS），全等后得到AE'=BF'，然后根据全等得到的∠OAE'=∠OBF'，我们根据OA、OB、AE'和BF'四条线段相交形成的两个三角形包含这两个角，而且其中有对顶角，所以可以得到AE'和BF'相交形成的是直角，所以二者垂直；

（3）这一问的思考量的确不小，而且如果同学们考虑不够全面，还很容易掉进自己的陷阱中，A和B是固定的点，同时AE'和BF'还一直是垂直的，所以∠APB恒为90°，这个时候肯定会有同学能够想到去做辅助圆，以AB为直径的圆，点P肯定在圆上，这个确实是，但是点P却不是在圆上随意运动，所以点P不可能会跑到点B的位置或者圆的最上方一点，那么点P的最高点究竟该如何去寻找呢？

我们从图1入手，要想让点P最高，这个正方形的位置肯定会在图1中旋转过程当中，我们看正方形OF'D'F，让其逆时针旋转的话，这里我们靠想象力吧，我们可以发现∠OBF'是在先增大后减小，而∠OAF也是在先增大后减小，

那么，在它们都增大的过程中，我们可以先观察图1中点P的位置，不在线段AF上面，而是在AF的延长线上，那么我们试想，在∠OAF达到最大的时候，点P不就是最高了吗？

那么问题来了，如何找到∠OAF的最大值？

我们知道正方形是绕点O旋转，而OF是一个固定的线段，点A和点F始终相连，那么我们就以OF为半径、点O为圆心做一个圆，当AF与圆O相切于点F的时候，此时的∠OAF不就最大了吗？

这个时候，OF⊥AF，且OF⊥FD'，也就是说点A、F、D'三点共线了，

如上图，我们知道AF⊥BF'，而∠FD'F'是直角，所以点P就是点D'，也就是说B、D'、F'三点共线，那么只要求出此时点D'的纵坐标即可；

我们知道OF=1，OA=2，所以∠OAF=30°，那么只要有AD'的长度即可得到点D'的纵坐标了（图中虚线以构成新的直角三角形），后续计算就不再多说了。

本题的解题方法到这里就结束了，不知道同学们是否能够独立完成这三个问题呢？

若第三问没有提供详细的说明，就像答案上只给了点P和D'重合时最高，但并未提供完整的解释，如果是单纯去看答案然后理解，肯定会有多数同学看不懂，毕竟答案无法代替老师，即使将所有答案全部记住，仍然不会明白有何意义。

所以同学们在学校学习的时候一定要善于问问题，因为大家需要掌握的是方法，而不是答案。