【八下期中】巧用中点公式 突破平四存在性问题

例1

在平面直角坐标系中，A(－1，0)，B(3，0)，C在y轴上，D在直线y＝x－2上．

(1)若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．

(2)若以A，B，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点D的坐标．

(3)若以A，B，D三点为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标．

第(1)问分析：

这是笔者原创的一道题目，A，B为两定点，C，D为两动点，即“两定两动”平行四边形存在性问题．常规解法是以AB为边，以AB为对角线，先分类讨论，再在坐标系中画出三种草图，进行求解．但实际作图过程中，许多学生会受限于原题的图，出现画不全的情况．若题目无图，则更难画全．

本题的草图如下：

那么有没有更好的办法呢？

其实是有的，核心思想是将“两定两动”转化为“三定一动”，分三步走．

(1)设参

我们可以设在y轴上运动的点C的坐标是(0，a)，并把它看作一个定点．

(2)画图

无需坐标系，大致画出A，B，C三点的位置，标上坐标，然后连接AB，AC，BC，将这三条边均只看作对角线，即简单，又可保证分类不遗漏．利用平行四边形对角线的交点是其各自中点，从而利用中点公式，将第四个点D的三种情况的坐标都表示出来．

(3)再代入

此时点D的坐标是含参数a的，再将含参数的点D的坐标代回原解析式y＝x－2中，即可求出点D的坐标．

解答：

第(2)问分析：

要使△ABD是等腰三角形，则其中任意一边可作为腰，也可作为底．但我们不妨与平行四边形一样处理，任意一边都只作为底考虑，则另外两边即为腰．

AB，AD为腰，则A为顶角顶点．

AB，BD为腰，则B为顶角顶点．

AD，BD为腰，则D为顶角顶点．

若要作图找出所有情况，即八年级上册所熟悉的“两圆一线”问题．

本小问只涉及一个动点D，可以直接设其坐标为(x，x－2)，当AB，AD为腰，或AB，BD为腰时，可利用距离公式，表示AD，BD的长度，利用与AB相等的条件，建立方程，求出点D的坐标．

当AD，BD均为腰，别忘了此时点D在AB的中垂线上，可直接知道点D的横坐标．

解答：

第(3)问分析：

要使△ABD是直角三角形，同样考虑三种情况，∠BAD＝90°，∠ABD＝90°，∠ADB＝90°．

由于AB在x轴上，∠BAD＝90°或∠ABD＝90°时的情况非常简单，只需过点A或点B作x轴的垂线，与直线y＝x－2的交点即为点D．

而当∠ADB＝90°时，有同学会选择勾股定理逆定理，但要两次涉及距离公式，较为繁琐．其实可以联想平时最不会用的直角三角形中重要的一条性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，就变成两点距离为定值问题了，计算会更简便，当然这其中的本质，到了初三学过圆以后，你会更加明白．

解答：

例2

已知在平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(m，n)，C(－2，10)，D(－5，p)，且p≤n．

(1)若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，请用含p的代数式的坐标重新表示点B．

(2)若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是菱形，求n的值．

(3)若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形，求n的值．

分析：

经过例1的详细讲解，相信大家对这种设参画图再代入的方法应该有所了解了，那么本题的解法与例1是完全一样的．对于(2)(3)问，也不用担心．

若四边形是菱形，则邻边相等，由于我们只考虑对角线，因此，对角线恰好将菱形分成两个等腰三角形，问题就转化为等腰三角形存在性问题．

若四边形是矩形，而四个角都是直角，对角线又恰好将矩形分成了两个直角三角形，问题就转化为直角三角形存在性问题．

解答：

(1)

(2)

(3)

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例3

分析：

本题是第一讲中的思考题，O，A均为定点，也是两定两动问题，笔者当时给的参考答案是将OA作为边，对角线分开讨论，光作图就比较麻烦．而现在，我们可以用设参，画图，再代入的方法轻松秒杀．如设点D坐标(a，－3/4a＋3)，表示出点E的坐标．接下来，准备好了吗，不画图，完全盲解！

解答：

更多好题，

详见《领跑数学中考二轮复习2020版》