八下第8讲 平行四边形、矩形性质&判定重难点突破

写在前面

转眼间，全国多数地区已经进入开学状态，江苏省的初二学子已经正式复课两周了，从开学练习的情况看，网课的效率不是很高，因此，我们还是应该重新认真打好基础．本讲，从平行四边形和矩形的性质和判定出发，结合我们前期的文章，一起再作巩固！

01

平行四边形性质

例1： 在给定的条件中，能作出平行四边形的是（　　） A．以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边 B．以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边 C．以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边 D．以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边 分析： 要能够构成平行四边形， A、C选项涉及两邻边及一条对角线，则必须满足四边形的两邻边与一条对角线能够构成三角形． B、D选项涉及两对角线和一边，则必须满足两对角线长的一半与四边形的一边构成三角形． 解答： 20＋34＜60，故A选项错误；6＋3＜10，故C选项错误； 18＋10＞22，故B选项正确；3＋5＝8，故D选项错误． 故选B．

例2： 分析： 由平行四边形的性质可得，AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，AD∥BC，接下来结合已知条件与各个选项中条件依次分析判断即可． 解答： ∵AE＝CF，可证EO＝FO，结合BO＝DO， 可证四边形DEBF是平行四边形，故A正确． ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF， 结合∠AED＝∠CFB，或∠ADE＝∠CBF， 可证△ADE≌△CBF， 从而得到AE＝CF，接下来证明同A选项， 故B、C正确． ∵DE＝BF，DO＝BO，∠DOE＝∠BOF，出现了SSA， 无法证明△DOE≌△BOF，则无法证明EO＝FO， 故D错误，具体反例如下：

例3： 若四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥CD，且AB＝CD＝16cm，AC＝18cm，则BD的取值范围是______． 分析： 本题无图，可以先自己画图．易证四边形ABCD是平行四边形．则平行四边形的对角线相互平分，要求BD的取值范围，要么放在△ABD中，利用三边关系求解；要么考虑OD的范围，因为OB是OD的两倍．所以可放在△OCD中． 解答：

例4： 分析： 根据折叠的性质可得EF＝AE，BF＝BA，从而平行四边形ABCD的周长可转化为△FDE的周长＋△FCB的周长，求出AB＋BC，再由△FCB的周长为22，减去AB＋BC的长，即可求出FC的长． 解答：

例5： 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交DC所得的两条线段长为4cm、5cm，则平行四边形ABCD的周长为_______． 分析： ∠BAD的平分线分DC成4cm和5cm的两条线段，设∠BAD的平分线交DC于E点，有两种可能，DE＝4cm或5cm，证明△ADE是等腰三角形，再分别求周长． 解答：

02

平行四边形判定

例1： 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E. (1)当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小； (2)若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形． 分析： (1)首先要发现，由旋转得到的边等，AC＝DC，即△ACD为等腰三角形，从而想到用外角∠DEC减去∠DAC的度数即可． (2)本题中，可以通过一组对边平行且相等来证，显然选择BF和ED，要证平行，通过证明∠EBF和∠BED互补即可． 解答：

03

矩形性质

例1： 分析： 由四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC知，∠CDE＝∠CED＝45°，CD＝CE．又根据∠BDE＝15°，可得∠CDO＝60°，由矩形对角线相等可知，OD＝OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC＝OD＝CD，得∠DCO＝60°，∠OCB＝30°，OC＝CE，进而求得∠COE度数． 解答：

例2： 分析： 由四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC知，∠CDE＝∠CED＝45°，CD＝CE．又根据∠BDE＝15°，可得∠CDO＝60°，由矩形对角线相等可知，OD＝OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC＝OD＝CD，得∠DCO＝60°，∠OCB＝30°，OC＝CE，进而求得∠COE度数． 解答：

例3： 分析： 根据图形折叠前后对应边相等，可知AE＝A′E，AB＝A′D，在△A′ED中，利用勾股定理建立方程，从而求出DE的长，即可求出△DEF的面积． 解答：

04

矩形判定

例1： 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1. (1)判断△BEC的形状，并说明理由? (2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形?并证明你的判断； 分析： (1)根据矩形性质得出CD＝2，根据勾股定理求出CE和BE，根据勾股定理的逆定理验证即可； (2)根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，再添加∠BEC＝90°的条件可证矩形． 解答：