R语言Rstan概率编程规划MCMC采样的贝叶斯模型简介

原文http://tecdat.cn/?p=3234概率编程使我们能够实现统计模型，而无需担心技术细节。它对基于MCMC采样的贝叶斯模型特别有用。简介RStan是贝叶斯推理的C ++库。它基于No-U-Turn采样器（NUTS），用于根据用户指定的模型和数据估计后验分布。使用Stan执行分析涉及以下步骤：使用Stan建模语言指定统计模型。这通常通过专用的.stan文件完成。准备要输入模型的数据。使用该stan函数从后验分布中取样。分析结果。在本文中，我将展示Stan使用两个分层模型的用法。我将使用第一个模型来讨论Stan的基本功能，并使用第二个示例来演示更高级的应用程序。数据集该数据集测量了教学计划对大学入学考试的影响，即美国使用的学术能力测验（SAT）。SAT的设计应该能够抵抗直接针对提高测试成绩的短期努力。相反，测试应反映在较长时间内获得的知识。数据集如下：学校估计效果 标准效果误差a2815b810C-316d711e-19f111g1810h1218正如我们所看到的：对于八所学校中的大多数，短期确实增加了SAT成绩。对于此数据集，我们有兴趣估计与每所学校相关的真实效果大小。可以使用两种替代方法。首先，我们可以假设所有学校都是相互独立的。然而，这将导致难以解释的估计，因为由于高标准误差，学校的95％后验间隔将在很大程度上重叠。其次，人们可以汇集所有学校的数据，假设所有学校的真实效果相同。然而，这也是不合理的，因为应该有针对学校的影响（例如不同的教师和学生）。因此，需要另一种模型。分层模型的优点是结合了所有八所学校（实验）的信息，而没有假设它们具有共同的真实效果。我们可以通过以下方式指定层次贝叶斯模型根据该模型，教学的效果遵循正态分布，其均值是真实效果， θĴ ，其标准差是 σĴ ，从数据中已知。真正的效果，θĴ ，遵循正态分布 μ  和 τ 。定义Stan模型文件指定了我们将要使用的模型后，我们现在可以考虑如何在Stan中指定此模型。在为上面指定的模型定义Stan程序之前，让我们先看看Stan建模语言的结构。变量在Stan中，变量可以通过以下方式定义：int<lower=0> n; # 下限为0int<upper=5> n; # 上限为5int<lower=0,upper=5> n; # n在[0,5]中注意，如果它们是先验已知的，则应指定变量的上边界和下边界。可以通过方括号指定多维数据：vector[n] numbers; //长度为n的向量real[n] numbers; // 长度为n的浮点数组matrix[n,n] matrix; // n乘以n的矩阵程序块Stan中使用了以下程序块：data：用于指定使用Bayes规则的条件转换数据：用于预处理数据参数（必需）：用于指定模型的参数变换后的参数：用于计算后验之前的参数处理model（必需）：用于指定模型生成数量：用于后处理结果对于模型程序块，可以以两种等效方式指定分布。第一个，使用以下统计表示法：y ~ normal(mu, sigma); # y服从正态分布第二种方法使用基于对数概率密度函数（lpdf）的编程表示法：target += normal_lpdf(y | mu, sigma); # 增加正态对数密度  学校的模型现在我们已经了解了Stan建模langeu的基础知识，我们可以定义我们的模型，我们将它存储在一个名为的文件中schools.stan：data {int<lower=0> n; //学校数}parameters {vector[n] eta; // 标准化的学校层的影响}transformed parameters {}model {}  准备数据进行建模在我们拟合模型之前，我们需要将输入数据编码为一个列表，其参数应该与Stan模型的数据部分中的条目相对应。从后验分布中取样我们可以使用stan函数从后验分布中进行采样，执行以下三个步骤：它将模型规范转换为C ++代码。它将C ++代码编译为共享对象。它根据指定的模型，数据和设置从后验分布中进行采样。现在，我们可以从后验编译模型和样本。唯一需要的两个参数stan是模型文件的位置和要输入模型的数据。模型解释我们将首先对模型进行基本解释，然后研究MCMC程序。基本模型解释要使用拟合模型进行推理，我们可以使用该print函数。## Inference for Stan model: schools.## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.#### mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat## mu 7.67 0.15 5.14 -2.69 4.42 7.83 10.93 17.87 1185 1## tau 6.54 0.16 5.40 0.31 2.52 5.28 9.05 20.30 1157 1## eta[1] 0.42 0.01 0.92 -1.47 -0.18 0.44 1.03 2.18 4000 1## eta[2] 0.03 0.01 0.87 -1.74 -0.54 0.03 0.58 1.72 4000 1## eta[3] -0.18 0.02 0.92 -1.95 -0.81 -0.20 0.45 1.65 3690 1## eta[4] -0.03 0.01 0.92 -1.85 -0.64 -0.02 0.57 1.81 4000 1## eta[5] -0.33 0.01 0.86 -2.05 -0.89 -0.34 0.22 1.43 3318 1## eta[6] -0.20 0.01 0.87 -1.91 -0.80 -0.21 0.36 1.51 4000 1## eta[7] 0.37 0.02 0.87 -1.37 -0.23 0.37 0.96 2.02 3017 1## eta[8] 0.05 0.01 0.92 -1.77 -0.55 0.05 0.69 1.88 4000 1## theta[1] 11.39 0.15 8.09 -2.21 6.14 10.30 15.56 30.22 2759 1## theta[2] 7.92 0.10 6.25 -4.75 4.04 8.03 11.83 20.05 4000 1## theta[3] 6.22 0.14 7.83 -11.41 2.03 6.64 10.80 20.97 3043 1## theta[4] 7.58 0.10 6.54 -5.93 3.54 7.60 11.66 20.90 4000 1## theta[5] 5.14 0.10 6.30 -8.68 1.40 5.63 9.50 16.12 4000 1## theta[6] 6.08 0.10 6.62 -8.06 2.21 6.45 10.35 18.53 4000 1## theta[7] 10.60 0.11 6.70 -0.94 6.15 10.01 14.48 25.75 4000 1## theta[8] 8.19 0.14 8.18 -8.13 3.59 8.01 12.48 25.84 3361 1## lp__ -39.47 0.07 2.58 -45.21 -41.01 -39.28 -37.70 -34.99 1251 1#### Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Thu Nov 29 11:17:50 2018.## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at## convergence, Rhat=1).这里，行名称表示估计的参数：mu是后验分布的均值，tau是其标准偏差。eta和theta的条目表示向量的估计η  和 θ 。 列指示计算的值。百分比表示可信区间。例如，教练整体效果的95％可信区间，μ 是[ - 1.27 ，18.26 ] 。由于我们不太确定平均值，95％的可信区间为θĴ 也很宽。例如，对于第一所学校，95％的可信区间是[ - 2.19 ，32.33 ] 。我们可以使用plot函数可视化估算中的不确定性：

黑线表示95％的间隔，而红线表示80％的间隔。圆圈表示平均值的估计值。MCMC诊断通过绘制采样程序的轨迹，我们可以确定采样过程中是否出现任何问题。例如，如果链条在一个地方停留太长时间 。我们可以使用traceplot函数绘制模型中使用的四条链的痕迹：traceplot(fit1, pars = c

从单个马尔可夫链获得样本## parameters## chains mu tau eta[1] eta[2] eta[3] eta[4]## chain:1 1.111120 2.729124 -0.1581242 -0.8498898 0.5025965 -1.9874554## chain:2 3.633421 2.588945 1.2058772 -1.1173221 1.4830778 0.4838649## chain:3 13.793056 3.144159 0.6023924 -1.1188243 -1.2393491 -0.6118482## chain:4 3.673380 13.889267 -0.0869434 1.1900236 -0.0378830 -0.2687284## parameters## chains eta[5] eta[6] eta[7] eta[8] theta[1]## chain:1 0.3367602 -1.1940843 0.5834020 -0.08371249 0.6795797## chain:2 -1.8057252 0.7429594 0.9517675 0.55907356 6.7553706## chain:3 -1.5867789 0.6334288 -0.4613463 -1.44533007 15.6870727## chain:4 0.1028605 0.3481214 0.9264762 0.45331024 2.4657999## parameters## chains theta[2] theta[3] theta[4] theta[5] theta[6] theta[7]## chain:1 -1.208335 2.482769 -4.31289292 2.030181 -2.147684 2.703297## chain:2 0.740736 7.473028 4.88612054 -1.041502 5.556902 6.097494## chain:3 10.275294 9.896345 11.86930758 8.803971 15.784656 12.342510## chain:4 20.201935 3.147213 -0.05906019 5.102037 8.508530 16.541455## parameters## chains theta[8] lp__## chain:1 0.8826584 -41.21499## chain:2 5.0808317 -41.17178## chain:3 9.2487083 -40.35351## chain:4 9.9695268 -36.34043为了对采样过程进行更高级的分析，我们可以使用shinystan提供Shiny前端的包。分层回归现在我们对Stan有了基本的了解，我们可以深入了解更高级的应用程序：让我们尝试分层回归。在传统的回归中，我们模拟了形式的关系ÿ= β0+ X.β该表示假定所有样本具有相同的分布。如果存在一组样本，那么我们就会遇到问题，因为组内和组之间的潜在差异将被忽略。另一种方法是为每个组建立一个回归模型。然而，在这种情况下，在估计单个模型时，小样本量将是有问题的。分层回归是两个极端之间的折衷。该模型假设这些组相似但仍然表现出差异。假设每个样本属于其中一个 ķ 组。然后，分层回归指定如下：ÿķ= αķ+ X.ķβ（k ），∀ ķ ∈ { 1 ，... ，ķ}大鼠数据集分层回归的典型示例是大鼠数据集。该纵向数据集包含测量5周的大鼠重量。让我们加载数据：## day8 day15 day22 day29 day36## 1 151 199 246 283 320## 2 145 199 249 293 354## 3 147 214 263 312 328## 4 155 200 237 272 297## 5 135 188 230 280 323## 6 159 210 252 298 331

数据显示出不同大鼠的线性增长趋势非常相似。然而，我们也看到大鼠具有不同的初始重量，不同的截距，以及不同的生长速率。因此，分层模型是合适的。分层回归模型的规范我们现在可以指定模型并将其存储在一个名为的文件中rats.stan：data {int<lower=0> N; // 老鼠数int<lower=0> T; // 时间点数real y[N,T]; // 重量乘以时间的矩阵real xbar; // 时间序列中的天数的中位数}parameters {real alpha[N]; // 老鼠重量截距real mu_alpha; // 平均截距real mu_beta; //平均斜率real<lower=0> sigmasq_y;real<lower=0> sigmasq_alpha;}transformed parameters {real<lower=0> sigma_y; // 老鼠体重的标准差real<lower=0> sigma_alpha; // 截距分布的标准差sigma_y <- sqrt(sigmasq_y);sigma_alpha <- sqrt(sigmasq_alpha);sigma_beta <- sqrt(sigmasq_beta);}model {mu_alpha ~ normal(0, 100); // 非信息先验mu_beta ~ normal(0, 100); // 非信息先验sigmasq_alpha ~ inv_gamma(0.001, 0.001); // 普通的共轭先验sigmasq_beta ~ inv_gamma(0.001, 0.001); // 普通的共轭先验for (n in 1:N) // 对于每个样本for (t in 1:T) // 每个时间点y[n,t] ~ normal(alpha[n] + beta[n] * (x[t] - xbar), sigma_y);}generated quantities {// 确定时间0（出生体重）的截距alpha0 <- mu_alpha - xbar * mu_beta;}请注意，模型代码估计方差（sigmasq变量）而不是标准偏差。此外，时间0的截距，即出生时大鼠的体重。我们还可以计算其他数量，例如，不同时间点的大鼠的估计重量。我们稍后会在R中执行此操作。数据准备要为模型准备数据，我们首先将测量点提取为数值，然后在列表结构中对所有内容进行编码：拟合回归模型我们现在可以拟合大鼠体重数据集的贝叶斯分层回归模型：用层次回归模型预测确定了 α 和 β 对于每只大鼠，我们现在可以在任意时间点估计个体大鼠的体重。在这里，我们感兴趣的是从第0天到第100天找到大鼠的体重。

与原始数据相比，模型的估计是平滑的，因为每条曲线都遵循线性模型。研究最后一个图中显示的置信区间，我们可以看出方差估计是合理的。离采样区域越远，不确定性越大。非常感谢您阅读本文，有任何问题请在下方留言！