协方差矩阵的意义及其应用，线性代数和各种应用之间的一个联系

数学的魅力在于，简单的模型可以做伟大的事情。" 现代数据科学中并不缺乏花哨的算法和技术。技术很容易学习，但也很容易落后。然而，从长远来看，数学的基础可以使人受益。协方差矩阵是一个简单而有用的数学概念，被广泛应用于金融工程、计量经济学以及机器学习。

协方差衡量两个随机变量在一个总体中共同变化的程度。当总体包含更高维度或更多随机变量时，用矩阵来描述不同维度之间的关系。协方差矩阵是一种更容易理解的方式，它将整个维度中的关系定义为每两个随机变量之间的关系。

用例1：随机建模

协方差矩阵最重要的特点是它是半正定的，那么久可以用乔里斯基分解了（Cholesky decomposition）：

简而言之，乔里斯基分解是将一个正定矩阵分解为下三角矩阵与其转置的乘积。在实践中，人们用它来生成相关的随机变量，方法是将协方差矩阵分解成标准正态分布，然后将下三角相乘。此外，矩阵分解在很多方面都是有帮助的，因为使用隐藏因子来描述矩阵的特征，可以发现一些普遍的属性，而我们并不经常可以明确地进行矩阵计算。

在金融工程中，蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）在期权定价中发挥了很大的作用，在这种情况下，衍生品的报酬取决于一篮子的相关资产。鉴于股票价格演变的标准公式假定股票价格遵循几何布朗运动（ geometric Brownian motion），通过对协方差矩阵进行乔尔斯基分解，可以计算出相关股票的价格。

用例2：主成分分析

主成分分析（PCA）是一种无监督的线性降维算法，将原始变量转化为这些独立变量的线性组合。它将整个数据集投射到一个不同的特征空间，在那里它可以优先考虑解释数据最大差异的维度。机器学习实践者利用PCA通过降低低方差维度来降低计算复杂性，并创建更好的可视化。

PCA如何与协方差相联系？特征分解

就像乔里斯基分解，特征分解是一种更直观的矩阵分解方式，通过使用其特征向量和特征值表示矩阵。特征向量的定义是：当对其进行线性变换时，仅以标量形式变化的向量。如果A是代表线性变换的矩阵，v是一个特征向量，λ是相应的特征值。它可以表示为Av =λv。一个正方形矩阵可以有多少个特征向量就有多少个维度。如果把所有的特征向量作为矩阵V的列，把相应的特征值作为对角矩阵L的条目，上述方程可以扩展为AV = VL。在协方差矩阵的情况下，所有的特征向量都是相互正交的，这就是新特征空间的主成分。通过将特征向量按其特征值从高到低的顺序排列，可以得到按重要性排列的主成分。