面积计算（三十一）

对数字敏感永远不会吃亏——高斯并没有说过。

直角三角形中的勾股数很多时候是很明显的提示。当然，提示可能最后还是没有能让你把这个题目给做出来，但是起码有个大概的方向。

例：如图，正方形ABCD的边长为13，E，F是正方形外两点，且AE=CF=5，BE=DF=12，求EF^2的值。

你看，这个题目的线索就太多了。

首先一组3，4，5的勾股数，马上可以知道∠AEB=∠DFC=90°，没错，勾股定理的逆定理也是成立的，即若三角形三边a,b,c满足等式a^2+b^2=c^2，则c对应的∠C为直角。

勾股定理逆定理的证明最快捷的办法自然是余弦定理，纯几何做法有同一法或者利用相似三角形，但是这些都超出了小学生的理解范围，所以暂时不讲。

再然后呢？

看最后让你求什么。为什么不是求EF的长度而是求它的平方的值？

说明EF肯定不是有理数，换句话说，只有求EF^2的值才是符合小学生的认知的。

问题来了，去哪里找直角三角形，使得EF是这个直角三角形其中的一条边呢？

我从不否认，这个题目对于有些家长来说就是瞟一眼的事。但是自己会做和教给孩子是两回事。你不能说显然怎么样怎么样，而是要了解孩子的思考过程，通过和孩子的交流找到他的薄弱环节。

比如说孩子拿到题目一点思路都没有，你就可以提示他，你先观察一下题目中这些数字有没有什么联系？当孩子发现勾股数以后再问他，除了正方形中的直角以外，还有没有直角？

当孩子顺利找到另外两个直角以后，再问他，你觉得这个题目中还有什么不一样的地方么？然后再提示仔细观察最后要求的东西，这样一步一步地来，你也能准确地了解孩子哪个地方比较薄弱了，同时对于提高孩子找思路的能力是极大的锻炼。

耐心，一定要耐心！切忌心浮气躁，想想自己蹒跚学步的样子，谁都不是生下来就会跑的。

完成了这些以后，那么接下来就该找这个直角三角形了。怎么找？

以EF为边的三角形有没有？不好意思，一个都没有。

那么可能以EF为边的三角形有没有？

这个相对来说就比较困难一些，不过我们把EA和FD延长之后交于G点，那么就可以构成一个△GEF。

这个是能够想到的和EF有关的最直接的三角形了，下一个问题自然是：这样做对不对？

由于最后是求EF长度的平方，所以EF一定要处于某个直角三角形中，所以如果△GEF是直角三角形，那么很可能这样做是对的，否则就要另辟蹊径了。

很显然DF∥BE，所以∠DFE＋∠AEB=∠BEF+∠AEB=90°，所以∠G=90°，这样看来这个辅助线基本就是对的。这时候我们要做的就是求出GE和GF的长度了。当然，用全等的方法来求是很容易的，不过作为小学生来说，更直接的办法就是顺便把EB和FC延长交于H，这样得到GEHF是一个大正方形——恰好就是我们证明勾股定理的办法！

于是这个大正方形的边长为5+12=17，所以EF^2=289+289=578。