整除和余数（六）
我们接着讲余数。
上一期的题目答案是19.
我看很多朋友留言都做对了，非常棒。（六条留言四位做出）
沿着之前的思路，300-262=38,262-205=57,38和57的公约数为1,19，但是题目要求大于1，所以只能是19.
其实我国古代对余数的研究达到了很高的水平，著名的孙子定理就是其中一个例子。
因为历史的原因，以我国人名命名的数学定理少之又少。而孙子定理算半个——因为西方更喜欢把这个定理叫中国古代剩余定理。
定理的内容是这样的：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一支，
七子团圆正半月，
除百零五使得知。
诶，我们就是写个数学定理都那么诗情画意。。。
那怎么翻译成数学的语言呢？
三人同行七十稀， 把除以3所得的余数用70乘；
五树梅花廿一支， 把除以5所得的余数用21乘；
七子团圆正半月， 把除以7所得的余数用15乘；
除百零五使得知， 把上述三个积加起来，减去105的倍数，所得的差即为所求。
和定理想配套的，是这样一个题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
就是说现在让你求个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2.
我们只要稍微凑一下就知道答案是23.
那如果让你求个数，除以311余127，除以589余277，除以3007余1829，这个数是多少？
打人犯法，把你拳头收起来。。。
所以我们要有一个通用的解法，这个解法当然存在，但是对小学生来说过于难了，这里就不多说了。还是回到我们能接受的范围内吧！
例：123123....123 （123组123）除以99的余数是多少？
这也是一类很常见的竞赛题。
这么大一个数，列竖式都没法列啊！
所以我们还是要想，怎么处理这个问题呢？被9整除的数的特点很好找各位数字之和等于9的倍数即可，但是除以11怎么办？
我们想到了1001！
没错，看见除以7,11,13，往1001上想，一般来说是不会错的。123123必然能被11整除，而123123123必然被9整除，所以6个123就能被99整除，于是123个我们拿掉120个，只要计算123123123除以99的余数就可以了。
动笔一算，等于90，题目就做完了。
为什么数学越来越难学？因为到后面你可用的东西太多了。选择趁手的工具也是非常有技巧的事情。上一节里我们能用的工具只有余数的定义，现在就要把整除都结合起来，瞬间难度就上来了。
庖丁解牛的故事家长朋友都听说过，一个数学学的不错的学生，一定具备把题目分解成若干个简单知识点的能力。
例：请找出所有的三位数，使它除以7,11,13的余数之和尽可能大。
看见题目，立马想到多少？
1001！
很好很好！在给孩子训练的时候也要注意这样的养成。怎么余数才最大呢？除以7余6，除以11余10，除以13余12，满足这样的最小的数是——1000.
但是这并非没有意义！
当这个数为1000的时候，我们发现，此时余数和事28，那么问题来了，27有没有可能？！
如果和是27，余数的情况怎么样呢？
除以7余5，除以11余10，除以13余12
除以7余6，除以11余9，除以13余12
除以7余6，除以11余10，除以13余11.
很好很好，沿着这条路走下去，逐个验证。先来看1，考虑除以11余10，除以13余12，那么这些数为：142,285,428....其中285除以7余5；
再来看2，除以7余6，除以13余12，有90,181,272,363,454,545,636...其中636除以11余9；
再来看3，除以7余6，除以11余10有76,153...76除以13余11，但是只有两位数，而下一个就是1001了，所以不行。
于是只有285和636满足条件。
是不是很。。。难了？
循序渐进，排除万难，想想你现在多啃一题，就是为娃多挣一分，值！