极限的保号性,这玩意儿咋证?常和谁联合起来考?

哈喽,大家好,我是宝刀君,很高兴我们又见面了,希望我的出现,可以给大家的考研带来好运~

今天我们聊一聊极限的保号性,主要讨论以下四个问题。

这个极限的保号性,常常被叫做极限的局部保号性,但由于极限本来就是在局部定义的,因此省略掉“局部”二字,叫极限的保号性也没错。

保号性的定义是这样的:

简单来讲,就是在x趋于x0时,极限值存在且大于0(小于0),那么就存在一个delta邻域,使得这个邻域内的函数值也是大于0(小于0)的

这就被称为极限的保号性。

这个定理,怎么证明呢?

那就需要用到极限的定义啦!

我们按照定义写出极限的定义表达式后,然后对这个不等式的epsue进行取值。理论上说,epsue是可以取任何值的,只要它大于0就行。

大于0的epsue,这个取法有很多了,比如你可以取2A,3A,4A等等,也可以取0.5A,0,3A,0.1A,到底取哪一种呢?

这取决于你的目的是为了干什么。

你现在的目的是:为了判断当极限值大于0时的函数值是大于0,还是小于0?也就是判断A-epsue的正负。

epsue取A的整数倍时,A-epsue为负数,epsue取A的小数倍时,A-epsue为正数,f(x)在这两种范围下,按照不等式“同大取大”的原则,f(x)>0。

或者,也可以这样理解,由于epsue一般取的是“比较小”的正数,那么在A的整数倍和A的小数倍之间,我们更习惯取A的小数倍的epsue,从而得到f(x)与0的大小关系判断。

以上的内容,是对知乎中一个读者提出问题的补充解答,链接如下:

https://www.zhihu.com/question/268531860/answer/556312977

解决了上面两个问题后,我们再一起激动的学习后面2个问题,毕竟是考试中重要的考点啊!

第一个是函数值保极限值 与 极限值保函数值的差异性

哎呦!

重要的不得鸟啊!

这个问题呢,好多刚开始复习考研的学生,在看到复习全书第一章知识点时,有些懵逼!

他们看不明白下图的定理1.3的推论及例题1.1:

图为李正元范培华复习全书

大多数学生初看这块内容时,第一反应是:好家伙,极限值大于0时,函数值符号大于0,两者同号,但是函数值大于0时,极限值却是大于等于0!

大于等于0!

大于等于0!

为什么要多加个等号?

有木有搞错!两者符号保持一致,岂不是更好吗?等号为什么要出来从中作梗!

说起来,等号加进去是有道理的,比如说常见的指数函数y=e^x,函数值是大于0的,但是当取极限时,比如x趋于负无穷时,该函数的极限值等于0。

因此,极限值保函数值,两者符号一致,极限值保函数值时,符号上面要多加一个等号,大家可以通过指数函数这个例子,方便记住这个结论。

最后一个问题是:极限的保号性,这家伙不洁身自好,常和谁勾搭在一起考?

没错!

说的就是你!

函数的极值点、凹凸性,保号性常和这些知识点鬼混在一起,蹦跶着出选择题、判断题!

比如,简单一些的,一起来热热身!

就像下面这道题,让你判断x=0是不是极值点:

你可以很自如的运用极限的保号性推出来这道题中,x=0是极小值点,具体怎么得到的,我想聪明的你,根据极限值的符号,分类讨论x=0左右两端的导函数符号,就能得到该结论啦!

但是考研里面,题目就没有这么简单了,综合性就比较高。

比如李正元范培华版的复习全书-第四章第二节里的一道例题:

像上面这道题,就综合了导数的定义、极限的保号性、极值点的判断、恒等变形等知识点,题目综合性比较强,如果你熟悉了极限的保号性原理,以及极值点的判断原则,那这道题还是可以很快做对的。

总之呢,极限的保号性是高等数学中的一个重要的知识点,它是根据极限的定义推导的,在极限值和函数值的“互相保号”中,函数值保极限值时要多加一个等号,考试时,该知识点常和函数的性态结合在一块考。

相信我,只要你认真阅读了宝刀君写的这篇文章,完整的干倒了全书上配套的习题,对于这个知识点,你是可以拿到满分的哦!

(0)

相关推荐