等边三角形中心和阿氏圆结合的一道题

近日看到一道比较有意思的题，记录一下思考过程，原题是这样的：

如图，在平面直角坐标系中，A点坐标是（4，3），点G为正△ABC的重心，顶点B，C分别在y轴和x轴的正半轴上，则OG=？

咋一看这题应该没啥难度，已知了A点坐标，B、C又在坐标轴上，由轨迹思想可知此为定图，G点坐标都是可以算出来的，构造一线三等角全等，画外接圆等等方法都能强算，不顾哦此原题为一填空题，这么强算颇有一定计算量，直接算有点不甘心，在没想到其他方法前也只能硬着头皮先做出答案了，刚动笔算想到G是重心，先设B、C坐标写出勾股式，再用重心坐标公式试试看是否可以整体去算看看能否简化计算量．

既然存在比例关系那么首先想到可能是相似，无论A点位置始终存在固定比例这很容易想到阿波罗尼斯圆，但此题中G和A点都是动点，这时想到动静互换△ABC整个都不动而O点在动，那么O点就是以BC为直径圆上运动，此时算一下比例发现正好符合相似比例：