寻找构造⟹ 理解运用—相似的基本图形思想2
在学习相似的过程中，我们会碰到这样的一个例题，很基础。
如图所示，添加下列哪个条件不能得到△ACD∽△ABC（ ）
这个题目选择项C是无法证明△ACD∽△ABC的，但是这个图形却是相似中很重要的一个基本图形，在很多综合题中都有所体现，特别的是这个相似中存在一组比例中项，即
在很多的解答证明中都需要用到，一是利用相似得比例中项去求解线段的长，二是利用比例中项证明相似。
我们提炼出这个基本图形和它的两个变式。
基本图形二：
以及将CD进行平移造成的下面两幅图
有些老师称为“母子”相似
例题：如图所示，△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，点P为AC中点，过点P的一条直线交边BC于点Q，且△CPQ与△ABC相似，求CQ的长。
分析：
此题中对△CPQ与△ABC相似并未用符号限定对应关系，所以我们只能确定点C和点C对应，其他两个顶点的对应要分情况讨论，也就是说分△CPQ∽△CAB和△CPQ∽△CBA两种情况来讨论。
解答：
引申一：
若点Q在AB上，且△APQ与△ABC相似，这样的点Q存在吗？试求出所有存在的AQ的长。
解答：
通过刚才的分析，我们发现当点P是AC中点时，过点P的一条直线将△ABC所截，若截得的三角形和原△ABC相似，这样的直线有4条。如果点P不是AC中点，仅仅时AC边上任意一点呢？
引申二：
如图所示，△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，点P为AC边上异于A、C的任意一点，过点P的一条直线将△ABC截为两半，且和△ABC的另一边相交于点Q，截得的三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？
分析：
这个问题其实是刚才两个问题的综合，所以我们只需要试着画出刚才的相似就行了。
解答：
如图所示，无论P在AC上哪个位置，必然存在PQ1∥AB，PQ3∥BC两种状况，由于∠B是△ABC中最小的角，所以∠CPQ1＞∠B、∠APQ3＞∠B，所以必然存在直线PQ2、PQ4，所以这样的直线永远有4条。
我们发现这样的直线仍然有4条，由于点P在△ABC最短的边AC上，我们思考如果点P在另外的边上呢？
引申三：
如图所示，△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，点P为AB边上异于A、C的任意一点，过点P的一条直线将△ABC截为两半，且和△ABC的另一边相交于点Q，截得的三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？
分析：
通过刚才的思考，我们发现和另外两边平行的线是显然存在的（如下图所示），我们主要需要考虑的是形如上面的基本图形的是否存在。在图（5）和图（6）中，当P点在P1左侧时，点Q3也是存在的，在P1右侧时，点Q3不存在；同理，当P点在P2右侧时，点Q4也是存在的，在P2左侧时，点Q4不存在。
综上考虑，我们得到：
如下图所示，
当点P在AP2段时，这样的直线有3条；
当点P在P2P1段时，这样的直线有4条；
当点P在P1B段时，这样的直线有3条。
解答：
刚才我们思考的都是锐角三角形的情况，如果△ABC是一个直角三角形，甚至是一个钝角三角形，那结论又该如何呢？
引申四：
如图所示，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P为AB边上异于A、C的任意一点，过点P的一条直线将△ABC截为两半，且和△ABC的另一边相交于点Q，截得的三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？
分析：
按照刚才的思考方式，我们主要考虑不平行的相似基本图形。如下图所示。
解答：
无论点P在AB上何处，这样的直线都只有3条。
引申五：
如图所示，△ABC中，AC=4，BC=5，AB=8，点P为AB边上异于A、C的任意一点，过点P的一条直线将△ABC截为两半，且和△ABC的另一边相交于点Q，截得的三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？
分析：
和前面的类似，如下图所示的两个平行时显然存在的，主要考虑的是另外的情况，如图（7）图（8），我们只需要求出此时的AP1和AP2的长就行了。
解答：
通过刚才的分析，我相信大家会对这个基本图形有更深刻的理解。类似的图形在中考中也非常的多，下面我就给出两道中考题，我们一起体会一下这个相似基本图形（第一题可以直接找到，第二题需要构造）
1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE·DA=DC2；
（3）若tan∠CAD＝
，求sin∠CDA的值．
2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．