四点共圆分析破解（二）
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共
圆”．四点共圆常用的判定方法有：
1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．
如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的
圆上．
【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．
【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．
（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．
2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．
3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．
【答案】略
4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．【来源：21·世纪·教育·网】
如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．
【答案】略.
诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．
【典型例题】已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径，P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．
（1）如图1，若直径AB与CD相交成120°角，当点P（不与B，C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值；
（2）如图2，求当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
答案：（1）略
（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值为2．
【简要分析】（1）如图，连接OP，取其中点O′，显然点M．，N在以OP为直径的⊙O′上．连结NO′并延长，交⊙O′于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2．而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．
（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O′，且直径OP＝2．而MN为⊙O′的一条弦，故MN为⊙O′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN＝90°．
【典型例题4】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作DE⊥AD交MN于点E，连结AE．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图2，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？请说明理由；
（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含α的三角函数表示）．
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