用最低的姿态,说最流行的 “切线不等式”

01

记忆中的切线不等式


切线不等式,对于很多同学来说,一定是很熟悉的吧?
但是,对于你来说,是不是也象大多数同学一样,只是记住了几个简单的结论而已?
就像是众所周知的:

当然,可能也还会有更多其它的。

比如:
可是,知道这么多,就真的认为有用了么?
答案是肯定的。
那就是——对很多同学来说,
这些结论,可能真的竟


其实说真的,是不是在解题时,压根就没想到过切线不等式呢?
或者说,根本就是不知道,这个切线不等式,到底是用来干什么的吧!
如果真的是这样,归根结底的原因,当然是对其理论知识的理解还有欠缺了。

02

不得不说的凹凸性

要说切线不等式,不能不说说函数的凹凸性。
什么叫凹函数和凸函数呢?
为了说的更明白,还是直接上图比较好点。
其实,还是很容易从图像的形状上区分凸凹的,毕竟这个凸凹,与我们生活中的经验一样的形象。
那么,数学里,我们又怎么表达函数的这种凹凸性呢?
最简单、也是考题中最常出现的,是下面的这种形式:
凹函数:
凸函数:
其实,这样的表述,并不难理解,从图像上就可以很容易地看出来的,应当是正确的。
嗯,因为两个点的任意性,是不是就给人一种上凸或下凹的感觉了!
其实仔细回忆这组结论,真的是在考题中经常出现的。

当然,我们还可以从切线的角度,去理解下函数的这种凹凸性。
还是先观察下图形的直观吧。
从图形中,你能看出点什么吗?
如果过曲线上某一动点做切线,当动点从左向右移动的过程中,切线斜率的变化是有规律的,而且因为凹凸性的不同,其规律也有所不同。

从左向右看:
凹函数,斜率一直在增加,
凸函数,斜率一直在减小。

从导数的几何意义我们还知道,切线的斜率是切点处的导数值。
因此,这种变化规律,还可以从导函数单调性的角度来刻画。
凹函数的导函数为增函数,
凸函数的导函数为减函数。

那么以后,我们就可以用导函数的导函数,也就是函数的二阶导数,来表达函数的凹凸性了。

而且你一定要知道的是,二阶导数,好像已经成为高考的常规要求了。

03

放缩法与凹凸性

现在,我们就可以谈谈,什么是切线不等式了。
其实,在不等式的证明中,有一种最常见的方法,那就是放缩法
但是,又有多少人真心的喜欢这种方法呢!
这种方法虽常见,但对于许多同学来说,不是走投无路的时候,是绝不会主动招惹它的。
嗯,确实是因为,放缩的目标实在是难以控制
所以说放缩无定法嘛!

我们最喜欢通性通法的东西,无定法,注定只属于学霸专属。

但是,如果仔细研究下切线与曲线的位置关系,最算如我一样的非学霸,也还是可以找到丁点感觉的。
上面两幅图中,是不是能够让我们提炼点什么呢……
至于我的总结,是这个样子的:

其实我认为,上面这个,才是切线不等式真正的内涵。
那么,再深入一点,如果两条曲线有公切线呢?
无论是下面这种有公切点的公切线:

还是这种没有公切点的公切线:

其实都能得到相似的结论:
那么,根据不等式的传递性,我们就可以很轻松地得到:
那么问题就来了,这样的逻辑关系,又能说明什么呢?能不能在解题中让它得以体现?

04

切线不等式的应用

从上面的结论:


我们可以提炼出证明不等式的一种最常规的思路:
要证明:

可以考虑先证明:

也就是先考虑寻求一个中间量

上面的结论告诉我们,如果不等式两边函数的凹凸性相反,这个中间量完全可以就是公切线了!

其实这也是放缩法的基本思路。
只是这里放缩的结果,我们指定,找的就是公切线了。

这样的思路,是不是也算一种,在凹凸性相反的条件下,证明函数不等式的通性通法呢!
也许这个,才是对切线不等式,最完美的理解吧。

下面,当然要写几道题,来刻意体验下这种切线不等式,在函数不等式证明中的应用了。


确实,解过程写完后,用画板做了个图发现,这两个函数还真的是有公切线的。


分析一:

一般而言,出现指、对数混合的式子,首先要考虑的应当是如何将指、对数统一化。
于是便有了第一种方法。
其实,从证明的结果来看,是不是也是利用了切线不等式呢?
当然,这是在统一化的过程中,偶然发现的结果。


分析二:

考虑到不等式左右两边所对应的函数为左凸右凹,故可考虑利用公切线进行放缩。
证明的过程虽然长了点,但好在分析的思路还是比较清晰的。

只是,对于不太清楚这种思路的同学来说,这个证明的一开始,可能就已经让他一脸懵逼,而生无可恋了。

分析三:

其实,这个不等式虽然是指、对数混合不等式,但好在对数的系数是不含变量的。
完全符合指数找朋友、对数单身狗的特征,当然是可以考虑直接构造函数,而转化为最值问题的。
所以便有了,最常规的比较构造法。
嗯,显然,虽然没有思路一统一化构造的思路巧妙,但依然是比思路二直接寻找切线放缩更简洁的。
这也提醒我们:
对数如果单身狗,指对混合不发愁。
要一如既往地相信,对于不等式恒成立问题,有参数的,还是要首选参变分离,无参数的,也应当首选做差(做商)构造函数,而直接转化为最值问题。


不等式恒成立求参数的范围问题,这里利用公切线处理,是不是也觉得思路还是很清晰?

当然,因为式中对数是单身狗,也可以考虑分离参数后,转化为最值问题。

但是,绝对要做好处理隐零点问题的思想准备。

切线,是数学里比较热点的问题,除了切线方程的求法,对切线不等式的理解,也是时候提上日程了。

毕竟,函数不等式的证明,是函数与导数中最常规的模型。

当然,最后还是要做一下友情提醒:

切线不等式的使用,主要是针对于凹凸性不同的两种函数做大小比较。而对于凹凸性相同的函数,则肯定是不适合用切线不等式处理的。

因此,拿到题目,先快速求地阶导数就显得尤为重要了。

END

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相关链接:

切线不等式-KO-函数不等式的证明

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