数学解题中的“有始有终”与“以终为始”

在晓晓阿姨对轩哥的数学辅导中，我发现晓晓老师经常会在不同的知识点，不同的题目中反复用到同一个解题的思路，这个解题思路是：

⑴     对初始条件的把握和分析，她称之为“初心”。她说数学的解题过程，就是一个对初始条件充分利用从而到达所问问题的过程。这里的初始条件有两种：一种为题目题干中所提供的条件；一种为平时学习到的公理、定理、常识等；

⑵    对即将到达目标的把握分析，她称之为“使命”。一切初始条件的使用，只为一个目标：接触题目最终所求。也就是说，不管出发多远，都不能忘记要去到哪里，这就是“牢记使命”；

⑶    “初心”与“使命”要反复融合思考。这就好比从A点到达B点，这一路上的探索与经历便是利用各种资源条件达成目标的过程，这个过程的反复训练可以提升我们在生活中思考路径并解决问题能力，而这种能力又恰恰是我们未来工作生活中最重要的逻辑思维与组织表达能力提升的基础。

以一个已经参加工作的成年人的眼光看来，学习数学，对于我们普通人，我是指并不是要成为数学家科学家之类的人，上述逻辑思维、条件组织、结果表达三种能力的提升正是其价值所在。回想当年我学习数学，却并不知道此中道理，如今才恍然，也写下来分享给孩子，万一有聪明的孩子看到，也许可以了然并少走很多弯路。

那么如何在解题中兼顾“初心”与“使命”，既能充分利用可利用的一切资源，又能将这一切条件与最终目的地相结合，不走弯路，享受过程，又能以最快的速度到达终点呢？我归纳晓晓老师的传教过程总结下来，主要的思考方式有两种：一种是“有始有终”步步为营的探索；一种是“以终为始”步步追问的逆向突破。

所谓“有始有终”步步为营，就是从读题开始标记出所有已知条件，带上所有初始条件，一路跋涉，遇山开路，遇水搭桥，向着目标，坚忍不拔地直捣黄龙府。而“以终为始”步步追问呢，就是分析目标，从目的地逆向思考，分析要达到这个结论所需要的条件是什么，这个条件若是原题中给了，“拿来主义”直接使用；若是没有直接给出，就要再次追问还需要什么条件就有了这个条件，连连追问过程中就可以把间接给出的条件给问出来。比如说通过“已知”和已经学习过的公理、定理推导得到想要的条件。“有始有终”与“以终为始”这两种思维方式，就像我们生活中要完成一个目标，有时候是万事俱备，有时候是需借来东风。

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”在数学学习中更是如此，下面我们就举例来说明上面两种思维的使用吧！

在轩哥学习的“勾股定理全章复习与巩固”中，有这么一道题：

已知：凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，

求证：BD²=AB²+BC²

分析：以此题所给初始条件中的∠ABC=30°，∠ADC=60°，指向性很强，很容易想到构建直角三角形的目标，而分析所证明结论，又是一个勾股定理的表达式BD²=AB²+BC²，因此，目的地也很清晰。可见，用“有始有终”或“以终为始”都很方便。

一、“有始有终”法

连接AC

由于∠ADC=60°，AD=DC

∴△ADC为等边三角形，AD=DC=AC

连接DB，将△DCB绕C点顺时针旋转60°，B点到B^丿点

DB=AB^丿(搭桥)

CB= CB^丿且∠BCB^丿=6O°，△CBB^丿为等边三角形，∠CBB^丿=60°

BC=BB^丿=CB^丿,又∵∠ABC=30°

∴∠ABB^丿=90°（铺路）

△ABB^丿为Rt△（接近目标）

∴AB²+ BB^丿²= AB^丿²

而BB^丿=BC，BD= AB^丿

∴BD²=AB²+BC²（坚持到底，直捣黄龙！）

二、“以终为始”法

连接AC,DB

将BC沿B点逆时针旋转60°

（利用初始30°构建直角三角形，且将BC变为其中一条边）

使C点到C^丿，连接AC^丿

△BCC^丿为等边三角形，BC=BC^丿（你一定在想：如果AC^丿=BD就好了！）

（追问：如何证明所希望得到的条件呢？）

又∵CC^丿=CB,AC=DC，∠1=∠BCA=∠2+∠ACB

∴△DCB≌△ACC^丿

∴DB=AC^丿（求仁得仁！）

Rt△ABC^丿中，AB²+BC^丿²=AC^丿²

∴BD²=AB²+BC²（目标达成！）

回头返观这两种思路，其实也是我们在工作生活中常用的方法论。就如同清研环境推行的工作方法论：先问目的，再做推演，亲手打样，及时复盘。在完成一个工作任务或项目的过程中，我们都会涉及根据我们所要完成的任务目标，来配备人、财、物和其他必备的条件，利用这些资源条件按照计划一步步克服障碍到达目的，随后在进行总结复盘以归纳出模型工具，以便在以后做类似的事情时可以做的更好。如果我们从小就受到这样良好的训练，我们以后在面临任何工作任务的时候一定具有更强的解决问题的能力。