【幂函数】- 图解高中数学
幂函数(Power function)是 5 种基本初等函数之一. 形如
其中指数 a 可以是整数, 有理数(分数形式) , (或是实数或复数).
幂函数不像二次函数, 指数和对数函数那样非常有规律, 因此造成的错误较多. 不过这次让我们借助图形的方式来一举掌握幂函数吧.
指数 a 为整数
让我们先来从下面动态图片中观察指数 a 从 -6 到 6的图像, 再来分别观察 a 为偶数和奇数的图形:
我们其实可以从上图发现很多性质, 比如
a 为偶数, 相应的幂函数为偶函数 - 关于 y 轴对称;
a 为奇数, 为奇函数 - 关于原点对称;
不管怎样这些函数都过(1,1)点, 而且幂函数的图像都不会出现在第四象限.
指数为分数形式 m/n
这种情况下要看 m 和 n 是奇数还是偶数了, 因为两者需要互质, 所以当然不会存在两者都为偶数的情况:
首先看分母为偶数, 对于这种情况只需如果考虑 x 为负数, 就明白图形只能出现在第一象限(实数域上) - 非奇非偶函数.
也就是函数是奇是偶函数, 其实只需要观察分子 m 就好了:
如果 m 为奇数, 函数就为奇函数;
如果 m 为偶数, 函数就为偶函数;
幂函数的图像
首先来看看第一象限的图像, 直接来看动图, 观察当指数 a 的变化 - 注意在不同范围内函数的图形:
其实总结图形按照 a 在 5 种区间上值来大致的形状, 请观察相应的单调性:
利用性质绘制图形
现在来上面的幂函数性质就可以迅速绘制出相应的函数图形俩, 比如现在大致绘制 x^(-4/5) 的图形, 思考过程可能如下:
函数和图形是一体的两面, 使用图形方便直观, 容易理解. 除了上面出现二维的动态展示, 也可以在三维空间中来总览整个图像的形状, 也会对幂函数性质进一步加深理解.
上面就是制作的图解高中数学幂函数例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高中数学相关概念的动图.
因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列. 感谢关注! Thanks!
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