图解普林斯顿微积分(重制) 09：反函数和反三角函数

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▌第10 章反函数和反三角函数

▌10.1 导数和反函数
第一章就回顾了反函数(Inverse function)的基本知识, 可以快速地再看下, 请点击[这里]. 现在讨论导数和反函数之间的两个联系.

10.1.1 使用导数证明反函数存在
如果一个可导函数

, 它的导数总是正的, 那么该函数一定是递增函数, 且满足水平线检验. 没有水平线会与

相交两次. 由于

满足水平线检验, 所以我们知道

有反函数.

函数上只有一个点使得

, 这样仍然有反函数.

10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题
函数的导数可以偶尔是

, 而该函数仍然有反函数. 但下图中函数没有通过水平检验, 在

和该函数有无数次相交(红色线段标识出), 故不存在反函数.

一般来说当函数有不连续点或垂直渐近线时, 上面导数和反函数的方法也不再适用了.

10.1.3 求反函数的导数
知道函数

有反函数, 我们通常称之为

, 该反函数的导数就是原函数的导数的倒数.

如果

, 则

.

如果一个函数, 它有反函数, 并且原函数在点

处的斜率为

, 则其反函数在点

处的斜率将会是无限的.

▌10.2 反三角函数

将

定义域限制为区间

, 则它满足水平线检验, 故它有反函数

, 写成

或

.

10.2.2 反余弦函数

, 其中

.

既不是偶函数, 也不是奇函数; 其定义域为

, 值域为

.

10.2.3 反正切函数

10.3 反双曲函数
要记住, 所有这些导数公式只有当 x 在相关函数本身的定义域内时才成立!