八年级第一学期期中复习汇总

1.二次根式的概念

注意：二次根式有意义的条件一定是被开方数大于等于0，若被开方数是一个负数，那么这个二次根式无意义，值得注意的是-a不一定表示负数。

2.二次根式的性质

      注意：在化简时，对于性质1和性质2，一定要注意字母系数的限定范围，当某个字母从被开方数中“挪”出来时，一定要关注该字母是否是正数。对于性质3和性质4，当化简后，注意检查化简后的式子能否“还原”到原二次根式。

3.最简二次根式的概念

1)被开方数中各因式的指数都为1；

2)被开方数不含分母.

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

注意：这里所指的“被开方数中各因式”指的是无法再开方的因式，如xy，a2+b2等因式的指数都是1。

 4.同类二次根式的概念

    几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根式也可以合并，它的依据是提取公因式。

注意：(1)判断几个二次根式是不是同类二次根式，应先将每个二次根式进行化简，化成最简二次根式（即被开方数中不含分母，且被开方数中不含有可开方的因数或因式）以后，再看被开方数是否相同。

(2)若已知几个最简二次根式（或者几个二次根式已经化简）是同类二次根式，我们可以得到如下信息，这几个根式的根指数都是 2，这几个根式的被开方数相等，从而列出方程。

(3)若已知两个二次根式是同类二次根式，如√a和√b是同类二次根式，则被开方数不一定相等，如√12和√27是同类二次根式，但 12≠27，这一点一定要注意。

(4)将一个二次根式化成最简二次根式，要用到积，商的算术平方根的性质.

5.二次根式的加法和减法

整式的加减归结为合并同类项。二次根式的加减也归结为合并同类二次根式。

由此可见，二次根式相加减的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.

6.二次根式的乘法和除法

二次根式相乘的法则，即两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.

二次根式相除的法则，即两个二次根式相处，被开方数相除，根指数不变.

二次根式相乘除的结果必须化为最简二次根式.

       7.分母有理化

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。

   8.有理化因式

注意：√a+√b的有理化因式是√a-√b，√(a+b)的有理化因式是√(a+b)。

      1.一元二次方程的概念

       一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程。其中整式方程是指两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

一元二次方程主要有以下几种解法：分别是直接开平方法、配方法、因式分解法和求根公式法。根据方程的不同特征选择不同的方法解方程。

       2.一元二次方程的解法

①直接开平方法

②配方法

③因式分解法

④求根公式法

      3.一元二次方程根的判别式

小结：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值；③计算判别式的值；④根据判别式的符号判定方程根的情况.

小结：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；若一元二次方程有两个实数根则判别式大于等于0.

小结：也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

      4.在实数范围内对二次三项式因式分解

注意：利用“求根公式法”分解二次三项式应注意：1.不要漏写二次项系数；2.当这个二次三项式除了未知数"x"外，还有别的字母时，字母不能遗漏。

其分解步骤如下：①令该二次三项式为0，若△≥0，求出该一元二次方程的两根,；②因式分解，写作a(x-x1)(x-x2)。

      1.正比例函数的意义

正比例的意义：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例。

正比例函数的意义：解析式形如y=kx(k≠0)的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数。正比例函数的定义域是一切实数。

待定系数法求正比例函数解析式：在求正比例函数的解析式时，先设解析式为y=kx(k≠0)，其中系数k待定；再利用已知条件确定k的值。这样的方法称为“待定系数法”。

  2.正比例函数的图像
      正比例函数的图像：正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过(0,0)点和(1,k)点的一条直线，其图像叫做直线y=kx。

3.正比例函数的性质

正比例函数的性质：

(1)当k>0时，正比例函数的图像经过一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐增大；(2)当k<0时，正比例函数的图像经过二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐减小；

(2)正比例函数关于原点对称；特别地，当比例系数互为相反数时，关于对称轴对称；当比例系数互为负倒数时，两条直线互相垂直；y=x是一、三象限的角平分线，y=-x是二、四象限的角平分线。