主轴卦限无“等惯点”的证明

1、问题的提出：在质心主系的主轴卦限中，有无“等惯点”呢？答案是否定的。

2、已知质心主系的惯性椭球面方程：

ax²+by²+cz²=1+2dxy+2exz+2fyz.

3、将坐标系平移到P(x₀，y₀，z₀)的惯性椭球面方程：

x²I_x+y²I_y+z²I_z=1+2xyJ_xy+2xzJ_xz+2yzJ_yz.

其中，I_x=a+y₀²+z₀²、 I_y=b+x₀²+z₀²、  I_z=c+x₀²+y₀²；

J_yz=f+y₀z₀ 、  J_xz=e+x₀z₀ 、  J_xy=d+x₀y₀.

（1）由J_yz=J_xz=J_xy=0得“等惯点”P的第一、二必要条件：

条件1：def＜0；  条件2：P点到平面XOY的垂足，在直线fx=ey上。

（2）由I_x=I_y得“等惯点”P的第三必要条件： (e²-f²)d=ef(b-a).

4、将质心主系的惯性椭球方程，以z轴为转轴进行旋转变换，见《惯性积的旋转定理》。

5、设旋转变换后的x′轴为惯性主轴，由J′_xy=0=J′_xz得，x′轴方程：ex+fy=0.

6、由此得出，“等惯点”P在与x′轴垂直的主轴平面上。故问题的答案是否定的。