二次函数中的倍角存在性问题

以下例题的来源和解析全部来自上海市求真中学单晶老师

在之前的文章中已经有多篇文章涉及了二次函数中的等角问题以及二次函数中的45°角问题，多次的一模、二模中也涉及了角相等问题(2021一模中的角相等问题1)，（2021一模中的角相等问题2），(2021二模中的角相等问题)，但是单独研究45°背景下的等角、二倍角、三倍角视角下的问题却比较少，下面，就跟着单晶老师的脚步，进行这三类关联题型的研究吧.

解法1：构造等腰直角三角形，寻找不变的量，将锐角三角比转化为线段比

解法2：构造一线三直角，转化为相似三角形中的比例线段

解法3：利用特殊角：若α+β=45°，tanα=1/2，则tanβ=1/3.

解法1：化倍为半，作平行线，构造等角

解法2：化倍为半，利用对称性，作角平分线，借助交轨法求坐标

解法3：化半为倍，利用外角，构造等腰三角形

解法4：化半为倍，借助直角三角形斜边上的中线构造等腰三角形

解法4：构造一线三等角，利用tanα=1/2的倍角tan2α=4/3进行计算

解法1：构造相似三角形，将三倍角化为二倍角，最终化为等角计算

解法2：构造等腰三角形，将三倍角化为二倍角，最终化为等角计算

小结：对于二次函数背景下含45°角的等角问题，整体思路是将锐角三角比转化为线段比，常见的方法是构造等腰直角三角形、一线三直角模型或利用特殊角的三角比进行计算；对于二次函数背景下含45°角的二倍角问题，整体思路为“化倍为半”，即通过作平行或利用对称性作角平分线；而“化倍为半”则通过外角、直角三角形斜边的中线、翻折的性质构造等腰三角形，利用交轨法求出点的坐标.