哥德巴赫猜想是数学中最令人着迷的未解之谜之一。在这篇文章中，我将带你踏上穿越时间和数学的旅程。除了最初的定义之外，我将介绍一些看待这个猜想的其他方法。视觉上和代数上都有。我们将证明一个等价性，并对它进行一些研究。
质数（素数）
哥德巴赫猜想是关于质数的，在一头扎进数学中最古老、最“可怕”的问题之前，让我们先试着理解一下为什么我们应该首先关心质数问题。回想一下，质数是大于1的整数，只有1和它本身能除它。在数学中，特别是在数论领域中，我们研究的是整数，而且我们常常把我们的研究限制在被称为自然数的正整数上。也就是说，我们对1、2、3、4、5、……等数字感兴趣。在数学和自然界中，研究不同对象的一个方法是研究所有对象组成的基本构件。算术基本定理表明，每一个大于1的自然数都可以唯一地写成素数的乘积。也就是说，每个自然数都由一组唯一的质数组成。唯一的质因数分解。例如，数字6可唯一写成2⋅3，28可唯一写成 2⋅2⋅7。从这个意义上说，如果我们理解了质数的一切，那么很多关于自然数的信息就会随之而来。
作为类比，物理学家研究物质和力的基本构件，如夸克、弦、量子场、波动方程等。为了了解自然及其规律，化学家研究原子如何结合成分子，以更好地了解它们之间的反应，生物学家研究细胞及其组成部分，以更好地了解生命本身。
一个看似乏味的问题
1742年6月7日，德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫给史上最伟大的数学家之一莱昂哈德·欧拉写了一封信。尽管乍一看，这封信看上去毫无意义，但却蕴含了数学中最伟大的谜团之一。
每一个可以写成两个素数和的整数，也可以写成任意多个素数的和，直到所有项都是1为止。
欧拉在1742年6月30日的一封信中回复了哥德巴赫，并提醒他他们之前的一次谈话，哥德巴赫在那次谈话中说，这两个猜想中的第一个将从他的陈述中得出
从历史的角度来看，在数论中，重要的东西总是在边缘。想象费马。
哥德巴赫信中空白处的猜想现在被称为哥德巴赫猜想，用现代语言来说，它陈述了以下内容。
在某些情况下，有一种以上的方法来将数字写成两个素数的和。这个猜想没有提到这一点，所以当然是允许的。这个猜想一直是许多数学家的灵感来源，为了研究这个问题，人们创造了许多工具。然而，近300年来，它打败了世界上最好的数学家，至今仍未得到解决。
对于每个偶数都是两个素数的和，我认为这是一个完全确定的定理，虽然我不能证明它。
这个猜想到底说明了什么？
在数学中，你经常可以从不同的角度来看待一些定理，有时某些角度比其他角度更清晰，这叫做等价。假设你有两个命题A和B，如果说A和B是等价的，也就是说，如果A为真，那么B也为真，如果B为真，那么A也为真。A和B是等价的。因为假设A为真。那么0不能在S中，因为1不能除以0，因此B也是正确的。反过来，假设B为真，然后我们可以用1除以S中的任何数因为唯一不能用1除以的实数是0，因此A一定是正确的。注意（至少对我来说）上面的陈述B比陈述A更清楚更容易理解。这只是两个表述等价的一个简单例子。但在现实生活中，它们往往更难证明。
哥德巴赫猜想的几何学
一个数是偶数当然意味着它能被2整除。那么两个数的和是偶数是什么意思呢？我们可以从几何的角度来看，首先注意到，命题p+q = 2n等价于(p+q)/2 = n，也就是说，p和q的平均值等于n。这在几何上说明了什么？想象一下实线，中间是0，左边是负号，右边是正号，包含了你通常认为的所有数字。由以上陈述可知，实数线上存在一个以n为圆心的圆与实数线上的p和q相交，即p和q在数轴上与n的距离相等。我们稍后会用到这个事实，记住这对任何数字p和q都成立，而不仅仅是质数。简而言之：设p、q、n为满足p + q = 2n的任何自然数，则p和q对称地分布在n周围。
对于n≥2的整数，在以n为圆心的平面上存在一个圆，圆的半径r是0≤r≤n-2并且n是质数，那么r = 0或圆与实数相交于两个素数。
这是一个更好的看待它的视角吗？也许不是，但至少它给了一个关于这个问题的很好的几何直觉。它说在整数和质数之间存在一种潜在的对称性。
请注意，我们并不需要这些圆，我们只需要这些数字对称地分布在直线上n的周围。然而，我认为这些圆圈给了我们一种很好的几何直觉来描述这一现象。
在下一节中，我们将从这个观点中得到启发，并实际证明另一个等价性。
半素等效
在数论中，我们倾向于把问题分成两组。加法问题和乘法问题。例如，我们质因数分解一个大于1的自然数就是一个乘法问题。孪生素数猜想和哥德巴赫猜想在本质上更具有可加性。
半质数不像质数那样被广泛讨论，但在某种意义上，它们“接近”于质数，这本身就使它们值得研究。我断言下面的表述和哥德巴赫猜想是等价的。
表述1：对于所有n≥2，存在一个整数m，使0≤m≤n-2且n²- m²是一个半素数。
假设哥德巴赫猜想成立，假设有一个整数n≥2。然后我们假设对于一些质数p和q 2n = p + q。然后我们假设对于一些质数p和q ，2n = p + q。假设p≤q不失一般性，则通过以上讨论，存在一个整数m，使0≤m≤n-2且
即n² - m² = (n - m)(n + m) = p⋅ q。反过来，假设表述1成立，假设有一个数2n， n≥2。我们需要证明2n可以写成两个素数的和。通过假设，我们可以找到一个0≤m≤n-2且n²- m²为半素数的数m。既然n²- m²= (n - m)(n + m)那么n - m和n + m都是质数，然后我们有：2n = (n - m) + (n + m)，因此2n是两个素数的和。
这当然意味着，如果你证明了表述1，那么你就暗示着证明了哥德巴赫猜想（反之亦然）。
可视化哥德巴赫猜想
事实证明，你可以把整数想象成由小立方体构成的1、2或3维的盒子。例如，数字6可以用1 × 6的一维立方体或2 × 3的二维立方体构成，27可以用3 × 9的二维立方体或3 × 3 × 3的三维立方体来构成。
根据上面的哥德巴赫猜想，不管你的正方形有多大，你都可以移除一些较小的正方形（或不移除），这样得到的形状只能被重建成一维或二维的盒子，而不是三维的。
- 我们在图中看到9²-4²。这些粉色方块在三维上不能形成一个盒子，二维上只能形成一个5 × 13的盒子，一维上只能形成一个1 × 65的盒子。
好奇心和抽象的重要性
质数的研究很重要，因为，正如开头提到的，他们建立了所有其他数字，这种哲学已经延续了2000多年。但当时希腊人不知道的是，2300年后，质数的信息在网络安全和在线交易中扮演了至关重要的角色。欧几里得很伟大，但他不可能预见到互联网的发明。这表明，尽管一些纯数学学科的研究可能没有直接应用于社会或影响我们的日常生活方式，但它可能改变2000年后人类的生活方式。
