曾经被认为无用的理论，解决了费马大定理，20世纪最著名的证明

• 数学家可以通过用更简单的概念来表示复杂对象，比如这里所示的李群（数学术语，Lie group），从而更好地理解它们的各个方面。

当“表示理论”在19世纪末出现时，许多数学家质疑它的价值。1897年，英国数学家威廉·伯恩赛德写道，这种非正统的观点根本不会产生任何新结果。

悉尼大学的乔迪·威廉姆森在2015年的一次演讲中说：“基本上（伯恩赛德）说的是“表示理论”是没有用的。”自一个多世纪以来，“表示理论”一直是许多最重要的数学发现的关键成分。然而，它的用处在一开始还是很难被察觉。德国凯泽斯劳滕技术大学的艾米丽·诺顿说：“研究这个问题是否合理，现在还不清楚。”

“表示理论”是一种把复杂的事物用较简单的事物“表示”的方法。复杂的对象通常是数学对象的集合，比如数字或对称性，它们彼此之间有着特殊的结构关系。这些集合称为群组。比较简单的对象是称为矩阵的数字数组，它是线性代数的核心元素。群组是抽象的，通常很难掌握，而矩阵和线性代数是基本的。

“数学家基本上知道关于矩阵的一切。它是为数不多的被完全理解的数学科目之一。”波士顿大学的杰瑞德·温斯坦说。

要了解如何用矩阵表示群组，有必要依次考虑每个对象。

首先，举一个简单的例子，考虑一个等边三角形的六种对称性：

• 两个旋转对称（120度和240度）
• 三种反射对称（从每个顶点绘制的线穿过对边的中点）
• 一个恒等对称，对三角形不做任何改变

这六种对称形成了一个封闭的元素宇宙——一个群组——它的正式名称是S_3。它们组成了一个组，因为您可以按任意顺序将任意数量的它们应用到三角形中，并且最终结果将与仅应用一个对称性相同。例如，先反射三角形，然后将它旋转120度，重新排列顶点，就像你仅仅执行了一个不同的对称变换一样。

数学家将两种对称的结合称为合成：一组(反射)与另一组(旋转)的一个组合产生第三组（不同的反射）。你可以像数学家一样，把合成看作是乘法运算。

如果考虑非零实数，这是最容易看出的，它们也构成了一组。实数有一个单位元素—（数字1）。任何与1组合或乘以1的实数保持不变。你也可以乘任意实数的组合，以任何你想要的顺序，乘积总是一个实数。数学家们说，实数组在乘法下是“封闭的”，这意味着你不会仅仅通过元素的乘法就离开这个群组（实数集）。

自19世纪30年代被发现以来，群组已经成为数学中最重要的对象之一。它们编码质数、几何空间和几乎所有数学家最关心的东西的信息。要解决一个重要的问题，往往需要理解与之相关的特定群组。但是大多数群组比等边三角形的对称群组更难理解。例如，“李群”包含无限多个元素，而不是六个元素。

这就把我们带到了“表示理论”，它把有时神秘的群组的世界转换成充分约束的线性代数领域。

线性代数是对称为“向量”的对象进行简单变换的研究，向量是有向线段。这些对象是由坐标定义的，坐标可以以矩阵（一组数字）的形式显示。当另一个矩阵应用到这个向量时，就会发生变换。例如，应用矩阵：

到一个给定的向量，将它扩大2倍。这是一个“线性”变换的例子。

其他矩阵执行不同类型的线性变换，如反射、旋转和剪切。还有一个保持向量不变的“恒等”矩阵（正如恒等对称使得三角形不变，数字1使得其他实数不变）：

线性代数指定了这些转换背后的算术。矩阵的乘法、加法和减法就像我们对正则数进行这些运算一样简单。

“表示理论”根据一定的规则，为群组中的每个元素分配一个矩阵，从而在群组理论和线性代数之间架起了一座桥梁。例如，必须将群组中的单位元素分配为单位矩阵。分配还必须尊重群组中元素之间的关系。如果一个反射乘以给定的旋转等于第二次反射，那么分配给第一次反射的矩阵乘以分配给旋转的矩阵必须等于分配给第二次反射的矩阵。符合这些要求的矩阵集合称为群组的表示。

该表示提供了一组简化的图像，就像黑白图像可以作为原始彩色图像的低成本模板。换句话说，它“记住”了关于这个群组的一些基本但重要的信息，却忽略了其他的信息。数学家的目标是避免纠缠于一个群组的全部复杂性；相反，他们通过观察它在转化为简化的线性变换格式时的行为来了解它的性质。

一个群组几乎总是可以以多种方式表示。例如，S_3在使用实数填充矩阵时有三种不同的表示：简单表示、反射表示和符号表示。

数学家将给定群组的表示形式整理成一个表（称为字符表），该表总结了有关组的信息。行引用每个不同的表示，列指的是这个表示中的重要矩阵：分配给组中的单位元素的矩阵，以及分配给组中“生成”元素的矩阵，这些元素一起产生所有其他元素。表中的条目是一个称为每个矩阵的“trace”的值，通过对从矩阵左上角到右下角的对角条目求和来计算。下面是S_3的三种表示形式的字符表。

字符表提供了该组的简化图。其中的每个表示提供的信息略有不同。数学家将各种观点结合成一个整体印象。诺顿说：“你有很多不同的表征，它们记住不同的东西，当你把所有的信息放在一起时，你就能在某种意义上看到你的团队的这种万花筒般的画面。”

对于数学家来说，上面的字符表就是S_3中的字符表。但有时同一个字符表可以表示多个组。在那些模棱两可的情况下，数学家们可以使用其他工具。一种是改变他们创建表示法的数字系统。上面S_3的表示涉及到具有实数项的矩阵，但是您也可以使用复数项。事实上，大多数表示理论都是这样的。

一些最有效的表示法既不涉及实数也不涉及复数。相反，他们使用的是带有“模块化”数字系统的条目的矩阵。这是时钟算术的世界，在这个世界里，7 + 6环绕12小时的时钟等于1。具有相同字符表（使用实数表示）的两组可能具有不同的字符表（使用模块化表示），从而允许你将它们区分开来。

今天，“表示理论”是许多数学领域的中心工具（代数，拓扑，几何，数学物理和数论等）。这种表示理论的哲学在20世纪下半叶已经吞噬了大量的数学。

表示理论在安德鲁·怀尔斯1994年对费马最后定理的里程碑式证明中发挥了重要作用。问题是关于a^n + b^n = c^n这种形式的方程是否存在整数解。怀尔斯证明当n大于2时，不存在这样的解。然而，直接证明它的不存在太困难了。相反，怀尔斯使用的是一组模块表示，如果群组存在的话，这些表示就会被附加到组上。他证明了这一族模表示不存在，这意味着群组不存在，这意味着解也不存在。

这也就意味着，在威廉·伯恩赛德认为表征理论无用的100年后，它成为了20世纪最著名的证明理论的关键组成部分。温斯坦说:“我无法想象费马最后定理的任何证明，都与表示理论无关。”