电磁学中极为重要的连续性方程，一个简单的证明

连续性方程在物理学中是至关重要的，因为它告诉我们什么物理量在什么条件下必须守恒。就电磁学而言，必须守恒的最基本的量是电荷q，即流经空间某一区域(如电流)的总电荷量。连续性方程为：

• 方程1：微分形式的电荷的连续性方程

其中

是电流密度J的散度（是流过某个横截面积的电流量）和

是电荷密度在空间各点相对于时间的变化率。这是通量守恒的直接结果。我们也可以在积分的背景下看这个表达式：在方程的两边对体积进行积分，可以得到：

利用导数和积分是线性运算符的事实，我们可以从第二项的积分中取出时间导数。此外，通过对第一项应用散度定理，我们可以将方程改写为：

• 方程2：积分形式的电荷的连续性方程

仔细观察这个表达式，我们发现第二项的积分只是封闭表面S内的总电荷，即q，而第一项的积分只是电流I，结果是：

• 方程3：电荷守恒

这就完成了证明。方程1中的连续性方程在电磁学中极为重要，特别是电磁波传播和辐射。