世界上最短的数学论文系列，关于费马大定理和欧拉猜想

这是世界上最短的数学论文之一，可以追溯到1966年。虽然它真的很短，但却包含了相当多的内容！让我们从费马最后定理（费马大定理）开始，该定理由费马发现，后来由安德鲁-怀尔斯博士在1993年证明。它指出，任何形式的方程。

• 费马大定理

n>2时，x、y和z都没有整数解。1630年代，皮埃尔-德-费马在一页纸的空白处写下了一个棘手的挑战，声称他对这个问题有一个真正了不起的证明，但空白处太窄，无法容纳整个证明，正如他所说：

Hanc marginis exiguitas non caperet。

在费马死后的很多年里，世界都没有意识到这个定理，因为写有这个定理的这本《迪亚芬妮提的算术（Arithmeticorvm by Diaphanti）》早已积满灰尘。然而，在费马去世多年后，费马的儿子发现了这个问题，并出版了新版的《迪亚芬妮提的算术》，其中包含了费马的所有笔记，作为公开的数学挑战，让人们去解决。

350多年后，数学家安德鲁-怀尔斯（Andrew Wiles）终于结束了对费马大定理的研究，他发表了109页的论文《模块化椭圆曲线和费马最后定理（Modular elliptical curves and Fermat’s Last Theorem）》。109页的内容显然不是可以在书的空白处写下的，但没有人知道费马是否真的知道如何证明。事实上，人们能够给出费马提出的每一个问题的证明，除了这个问题。尽管费马大定理仍然是本世纪最有名的定理之一，但还有一个类似的定理是由欧拉（1707-83）提出的：

• 欧拉猜想

它看起来与费马大定理非常相似，这是因为它实际上是对费马大定理的概括，然而，就像费马大定理一样，这个定理在发表时没有任何证明。然而，值得注意的是，费马最后定理的概括实际上并不成立。在现在保持着历史上最短数学论文之一记录的论文中，兰德和帕金也证明了这一点。据观察，如论文中所示，对于n=4和k=5，至少有一个反例：

这个反例完全否定了欧拉猜想。这篇论文在若干年内保持着历史上最短的数学论文的记录，然而这个记录现在已经被普林斯顿大学的一篇论文打破了，我将在以后的文章中介绍。