【直角坐标系下的三重积分】图解高等数学-下 19

12.4 直角坐标系下的三重积分

三重积分

假设 F(x,y,z) 为一个空间有界闭区域 D 上的函数. D 为下面立体椭球所占区域. 将空间区域分割成小长方块. 体积记为 ΔVk, 其长宽高分别为Δxk, Δyk, Δzk , 并有下列的求和式:

观察下面动画, 当空间不断分割, 每个小方块的体积 ΔVk 不断变小:

如果 F 连续, 且 D 的边界曲面分片光滑, 其交为连续曲线, 那么当 Δxk, Δyk, Δzk 趋近于 0 时, Sn 有极限:

空间区域的体积

如果 F 是常数函数 1 , 那么 D 的体积就是三重积分:

确定积分限

先来观察下面的三重积分的直观展示动画:

如何找出三重积分的积分限, 如果先对 z 作积分, 再对 y, 最后对 x, 采用下列步骤:

第一: 画出空间区域 D 及其投影区域 R.第二: 确定 z 积分限. 过 R 内一点 (x,y) 做一条垂直于 z 轴的直线. 在 f1(x,y) 进入区域 D, 在 f2(x,y) 离开 D. 这便是 z 的积分限.第三: 确定 y 的积分限过点 (x,y) 做平行 y 轴的直线, 在 g1(x) 进入 R, 在 g2(x) 处离开 R, 这就是 y 的积分限.第四: 确定 y 的积分限. x 的积分限为保罗所有通过 R 且平行 y 轴的直线.

空间 - 函数的积分平均值

F(x,y,z) 是空间区域 D 上一立体的密度, 则 F 平均值就相当该立体的平均密度, 可以有下面公式定义: