2021菲律宾数学奥林匹克 -中文翻译

第一天

1.凸四边形中, . 在直线上取点, 使得, 过作\ 交于点. 直线与交于点, 直线与交于点,  直线与外接圆再次交于点. 求证: .

2.对正整数,证明存在一一映射 ,使得

3.设 表示正有理数集合. 函数 满足:
对任意素数, 均有  .
对任意正有理数 , 均有  .

求所有正整数, 使得方程至少有一个有理数解.

4.求所有实系数多项式 , 使得不属于集合 的整数只有有限个.

第二天

5.若一个正整数可以被整除, 且它的各位数字之和也可以被整除, 就称它是"幸运的". 对给定正整数, 求证: 存在幸运的正整数, 满足.

6.某国有个城市. 需要在这些城市之间建立一些双向的航线, 并满足如下条件:
任意两个城市可以通过若干航线连接(可以为1条).
若城市 之间有直连的航线, 则必存在城市, 使得, 之间也有直连的航线.
求证: 要满足以上两个条件, 则至少需要建立条航线.

7.实数满足   ,且

求证: .

8.直角中, , 且 . 取中点, 作于点, 取中点. 直线与外接圆再次交于点. 过作的平行线与交于点, 以为圆心, 为半径作圆交延长线于点. 中垂线交线段于点. 直线与外接圆再次相交于点. 在延长线上取点, 使得. 设为外心. 求证: .