圣诞节福利到咯——12.24平安夜周测部分习题解析暨“M型”相似总结

平安夜两个班学生的周测试卷经过晚上的加班，照例于今天（圣诞节）上午就跟学生们见面了，其中有关“M型”相似出现了几次，这也是我平时课堂上跟学生讲解过多次的重点内容，下面就结合周测，对“M型”相似再做整理归纳，希望对同学们有所启发。

“M型”相似

已知如图，∠B=∠C=∠EDF，求证：△BED∽△CDF

分析：由外角定理可知∠EDC=∠B+∠BED，而∠EDC=∠EDF+∠FDC，∠EDF=∠B，故而∠BED=∠FDC。又因为∠B=∠C，从而△BED∽△CDF得证。

除了相似，我们进一步可得等积式BE·CF=BD·CD（左边乘以右边等于左边乘以右边），这个结论在我们做题时亦有大用。

特别地，当点D为BC中点时，连接EF我们可以得到如下结论：△BED∽△CDF∽△DEF

分析：△BED∽△CDF之前已证，可得BE/CD=DE/DF，将CD用BD替换（D是中点），比例式变形可得BE/DE=BD/DF，而∠B=∠EDF，故而得△BED∽△DEF，从而结论得证。

除此之外，我们还发现，当D为BC中点时还可得到ED平分∠BEF，FD平分∠EFC，若过D向BE、EF、FC作垂线段，则其长度相等，△BED、△CDF、△DEF的面积比也就等于BE：CF：EF

下面来看昨晚的周测题

21、（8分）如图，正方形ABCD中,E是AB的中点,DE⊥EF

（1）求tan∠BEF的值       （2）求证：△DAE∽△DEF

分析：此题中∠A=∠B=∠DEF，是典型的“M型”相似的模型。本题第一问求tan∠BEF的值，也即求BF/BE，可由△DAE∽△EBF得到AD/BE=AE/BF，变形得BF/BE=AE/AD=1/2，即tan∠BEF=1/2。本题第二问事实上就是“M型”相似的特殊情况，当E为AB中点时△DAE∽△EBF∽△DEF，其证法上面已做讲解。

附加题：

如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=0.8．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；

③△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5； ④0＜CE≤6.4．

下列结论正确的是：                 .

分析：上述四项均正确。过点D作BC边上的高，由cosα=0.8，AB=10易得BC=16，这是题中隐含的条件。AB=AC即∠B=∠C，故而∠ADE=∠B=∠C=α，这又是“M型”相似的模型。①易证；②当BD=6时，算出CD=10，全等也得出来了；③△DCE为直角三角形时，分D、E为直角顶点两种情况，相对应∠BAD=90°和∠BDA=90°两种情况，再加上cosα=0.8易得；至于④，事实上CE长度的变化依赖于BD的变化，题中所给D是BC上一动点，我们可以利用之前的等积式结论AB·CE=BD·CD，设BD=x,CE=y，则10y=x(16-x)，变形即得y与x的函数关系式，其中x的范围为0<x<16，求最值即可。

由这两道周测题即可初窥“M型”相似模型的应用之广泛，希望同学们在学习时能够勤思考、多总结，多动笔，将所学落在实处，变为自己的。