蚂蚁怎样走最近？

如图1所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）

这道题我们用了展开圆柱侧面成平面图形（长方形）的方法，如图2，求出线段AB²=AC²+BC²=12²+9²=144+81=225，从而得到蚂蚁爬行的最短路线是沿圆柱侧面的一段曲线AB等于15厘米．

如果蚂蚁不“沿圆柱侧面爬行”，而是沿着A点竖直向上爬到C点，再沿直径CB爬到B点，即沿从A→C→B的路线要爬12+6=18厘米，所以这条路线比第一条路线要长．

探究一：假想一下，若本题中的圆柱是一个典型的矮胖型圆柱，那么蚂蚁爬哪条路线最短呢？

我们不妨计算一下,假设这个圆柱的高度为1厘米,其它条件不变，那么展开图中AB²=AC²+BC²=1²+9²=82，而沿第二条路线，即（A→C→B）²=（1+6）²=49＜82，所以这时蚂蚁沿由（A→C→B）的第二条路线最短．

探究二：既然瘦长型的圆柱沿曲面爬最短，矮胖型的圆柱沿第二条路线爬最短，那么我们再深入探索一下，原题中圆柱的高度变为多少厘米时(其它条件不变)，蚂蚁爬这两条路线的路程相等?

解析：设圆柱的高度变为xcm,根据题意得

展开图中：AB²=x²+9²

由(A→C→B)²=(x+6)²

x²+9²=(x+6)²

x²+81=x²+12x+36

45=12x

x=3.75

所以，当圆柱的高为3.75cm时，蚂蚁走这两条路线的路程相等．

探究三：当圆柱的底面半径r与圆柱的高度h满足怎样的关系时，

（1）蚂蚁爬这两条路线一样长？

（2）蚂蚁爬第一条路线最短？

（3）蚂蚁爬第二条路线最短？

通过上面的探索可以看出，学好数学不能墨守成规，生搬硬套．对于同种类型的题目也要灵活分析，认真对待哟．