例谈分类讨论思想在含参函数单调性中的应用

顺德郑裕彤中学  胡韵婷

摘要:分类讨论思想是高中数学重要思想方法之一。在高中每个阶段的学习中都有涉及,突出体现在含参函数类问题、含绝对值类问题、排列组合类问题等。涉及分类讨论的题目都r容易被学生划分为“难题”,学生的困难在于难以明确分类依据,论述过程缺乏条理与逻辑,容易造成错解或漏解。要对分类讨论思想进行教学,不能就题讲题。数学思想的渗透应是长期且不断的过程,教师不仅要在教授过程中提出分类讨论思想,更应在教学的前期、中期、后期延续此过程。

关键词:分类讨论  数学思想  含参函数  渗透教学

人教A版选修2-2,函数的单调性与导数一节中,课本主要讲解函数的单调性与其导函数正负的关系,并通过三个例题加深学生对这种关系的理解。素材丰富、举例贴切,对概念的剖析已然比较到位。但是对习题的讲解,特别是涉及含有参数的题目寥寥无几,更没有把它作为例题给学生做示范。但是含参函数却是高考必考内容,且是热点、难点。在含参函数学习中,学生往往感觉到连听懂都存在困难,部分能听懂的学生在自主解题时,又感到茫然而无从下手。真正能掌握且熟练运用的少之又少。重重的困难,对教师的教学提出了要求和挑战。因此,教师在教学的过程中,必须补充更多的内容和习题,填补课本此处的空白,思考和选择更有效的方式来帮助学生。

根据课本及高考题,可将本节内容细分为以下四个题型。

1.原函数与导函数的图像关系;

2.求不含参的函数的单调区间;

3.求含参函数的单调区间;

4.已知函数的单调性,求参数的取值范围。

前面两个题型作为铺垫,后面两个题型是重难点,也是本文将探讨的内容。本文主要针对“含参函数的单调性”,例谈如何在教学的前、中、后期渗透分类讨论思想。

一、在教学前期做好题型分类整合

在教学前期,也就是备课环节,特别是在教授解题技巧前,我们需要对所研究的问题有一个整体的把握。

讨论含参函数的单调性的习题并不难找,难的是需要把题目进行重新分门别类,最后以题组的形式呈现给学生。为此,需思考以下几个问题:1.是否需要对所研究的问题进行分类。2.可以细分为几个类型。3.不同类型的题目的区别是什么。4.不同类型的题的解题方法是什么。以上几个问题有助于我们梳理讲题脉络。下面逐个击破。

对于问题1,我们知道在含参函数求单调性的问题中,有些需要讨论、有些不需要讨论,并且参数处于不同的位置所引起的讨论也是不一样的,因此题型分类十分有必要。

对于问题2和3,我们需明确:题目区分的依据是什么?上文提到,对于两个都含有参数的函数,可能有的要讨论参数的范围,有的不需要讨论参数的范围。

此外,对于含参且都需要讨论的题目,仍需继续细分。因为参数的位置不同,所引起的讨论也不同。如:二次项系数含参,需讨论参数等于、大于、小于零;两根含参大小不确定,需讨论两根大小;题目给定区间,需讨论根与区间的位置关系等。当然,更多的题目并不止一种分类,可能涉及两级甚至三、四级分类,属于综合性题目。

结合以上分析,可从导函数类型先进行粗分。

当然,教师可在此基础上再根据参数的位置进行细分。

接下来,教师在题目编排时,就可以以上分类作为依据,将问题填充进去。在一定程度上,题目编排得越细致,学生对题型的把握越准确。若分类较多,教师在教授时,可将简单题型交由学生来解决并总结解题方法。教师重点突破几类复杂题型,先解决仅涉一级讨论的问题,再进行多级讨论的综合训练。通过这样的梳理,帮助学生构建知识框架,理清解题方法,也便于题型的对比区分。

二、在教学中期做好分类依据引导

(一)梳理分类讨论的顺序

在教学过程中,教师与学生有最直接的交流,因此,课堂是向学生渗透数学思想最直接有力的途径。对于教师在教授“求含参函数的单调区间”这一课时,首先应避免就题讲题,应在题组归类的基础上,着重梳理含参问题讨论的顺序及技巧。

分类讨论思想一定要弄清楚两个问题:一是在什么情况下要分类讨论?二是分类讨论的标准是什么?讨论是因为不确定造成的,讨论的目的是化不确定为确定。在很多情况下,把第一个问题搞清楚了,第二个问题的答案也就出来了。 

1.按层级讨论

要突破这一难点,应先梳理讨论顺序。参照第一部分的题型分类,可作以下梳理。

梳理清楚后,开始培养学生做题的“方向感”。也就是,按照规律去做题。碰到含参的导函数,先归类。尝试问自己几个问题:导函数是一次型、二次型还是超越型?若是二次型,二次项系数是否有参数?若有,要如何讨论?若没有,接下来继续讨论什么?慢慢地,分类标准就浮现出来了。

在授课过程中,教师应强调讨论时分清主次,不越级讨论,力求“不重不漏”。

2.按平移顺序讨论

对于一些函数图像随参数变化而产生位置变化的题目,需向学生渗透:将图像按照一定的顺序,如从左往右或从上往下讨论,减少漏解。如例3。

(二)分类讨论可借助的工具

由于含参函数的分类讨论,对学生来说,是个难点,尤其是对逻辑思维不够严密的学生,更是容易晕头转向。因此,在教师教授过程中,应强调化抽象为具体,即利用数形结合思想。

上述的讨论顺序,为学生做题打下了一个理论基础,但学生的理解与运用还停留在初步阶段,必须在实际应用中才能检测掌握的情况。因此,在学生做题时,能否有一些更有效的手段将理论与实际结合呢?

1、树状图分析解题思路

树状图分析,是一个较为清晰有效的方法。不妨看看例4。

点评:在这道题中,导函数的分子部分是含参的二次函数,对其进行讨论会发现,要经历三层讨论。先是开口、再是△、还要比较两根大小和根与定义域的位置关系。教师在讲解时,不妨用树状图梳理解题思路。

并且,若学生能养成这样分析问题的习惯,遇到多层分类讨论的题目,也不至于太混乱了。相当于语文写作中的列提纲,先把大框架架好,再往里填充细节。这样也方便我们下次回顾这道题时,从树状图就能知晓这道题的大体思路。

教师在梳理分类讨论层级时,用树状图来梳理,也会使脉络更清晰。如下图。

2、分类讨论与数形结合

对于复杂的题目,我们往往需要多种思想方法来指引。分类讨论可将复杂的问题分类细化,逐个击破。而数形结合可将抽象的问题具象化。需要分类讨论的题目,本质上都是假设性的题目。我们在讨论的都是假设参数在某个范围时,会得出怎样的结果;假设在另一个范围时,又将得出怎样的结果。对于如此“虚幻”,需要想象的题目,我们更要把它具体化。并且,代数与几何不分家,对于严谨性高且抽象的函数题,我们可借助画图来帮助我们进行分类讨论。

点评:在此题中,不仅需要比较两根大小,还要进一步比较根与区间的位置关系,分类情况较多。在解题时,若不借助图形加以辅助,不仅大脑负担会增大,还有可能产生记忆错乱导致出错。

在所有分类讨论完成之后,我们还要进行最后一步综上小结。学会按顺序整合讨论的结果也是非常关键的,在整理的过程中,及时发现自己的问题,特别是重复或遗漏之处。

当然,不仅在函数类的题目中,需要分类讨论。在整个高中数学中,各处都有分类讨论的身影。思想方法的渗透既不单是这个章节的,也不单是那个章节的事情。需要在日常教学中,不断地、循序渐进地渗透,带领着学生从“入行”到“精通”。并且,在学习之初,先多多地让学生感受为什么在某处进行分类讨论。俗语有云:磨刀不误砍柴工。明白了为什么的问题,再去解决怎么做的问题,逐步建立分类讨论思想意识。

三、在教学后期做好分类总结提升

有分必有总,在各类型问题的逐个击破之后,教师应善于对问题进行总结归纳。题海战术能否奏效,要看是否有反思、总结、提升。零散的知识,总是容易被遗忘。因此,在课后学生必须要做的一项工作是:归类总结。这是知识的内化过程,将知识内化于心,纳入自己的知识体系,才能为己所用。

教师需要引导学生,对不同题型进行归类整理,总结方法。并通过做题巩固,强化分类讨论思想方法。在前期,我们把一个内容分成多个种类,逐个归类,集中火力逐个击破。在后期,当我们对这个问题学习得更深入之时,或许我们能站在更高的角度来思考,把其中的几类又重新合为一类,得出统一的解决方法。就像书先要读厚,然后要读薄。那我们对题目的内在联系会把握得更清楚,总结会更精炼,解题会更精准。

在传统的数学课堂中,往往以教师讲授为主,过多地知识灌输,导致数学思想方法渗透的缺失。数学课程标准中“四基”的提出,说明新的教学应更注重学生数学学科核心素养的发展,其中就包括数学基本思想。思想的作用不仅体现在学生当前能解一个数学题,还将体现在以后其学习、生活的各方面。

教学对学生的影响非一朝两夕可成。在整个高中的数学教学中,应保持数学思想循序渐进地渗透。在教学前期,总结划分、归类题型;在教学中期,指引分类标准、合理分类、结合例题说明;在教学后期,归类整理、总结提升。只有这样才能让学生逐渐感受分类讨论思想的重要性和必要性,才能更顺畅地利用分类讨论方式解决问题。

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