通过 2020 全国 1 卷 20 题看如何系统性突破解析几何

我们习惯了程序化的运算,寻思几何分析来优化,通过基本结论高效解题,但却常常忽略模型。

【点评】追溯解 Descartes 和 Fermat 创立解析几何的心路历程,发现其原动力是他们对普适性方法的追求,因而解析几何具有浓厚的“方法论”色彩。法一思路简单,暴力计算求定点。

法二:由极点极线知识知道答案。定点在 x 轴上,故设直线 CD: x = my + n ,

【点评】解析几何从四个维度去突破:

(一)方法本质:Descartes 和 Fermat 创立解析几何的原动力是他们对普适性方法的追求,因而解析几何具有浓厚的“方法论”色彩,代数方法研究几何问题,这是方法本质,关键步骤是转化,积累转化和处理运算的方法。

(二)问题本身:

在笛卡尔和费马引进解析几何学以后的百余年里,代数的和分析的方法通知了几何学,几乎排除了综合的方法。

首先,一个真正的问题是,到底解析几何学是不是几何学?

凯特尔说:“我们大多数年轻数学家这么轻视纯粹几何学,是不恰当的,年轻人嫌其方法具有普遍性,他问道,这究竟是几何学的过错还是研究几何学的人的过错呢?”

“在一门科学的哲理性的、基础性的研究中,光知道某件事情是对的却不知道它为什么对、不知道它在所属的真理系列中处于什么地位,这难道够吗?”纯粹几何学的学说往往会给出,而在许多问题中会给出一个简单而自然的办法来洞察诸真理的来源,去揭露那链接它们的神秘链索,去使它们独特地、明白地、完全地被认识。

彭赛列深信纯粹几何学的独立性和重要性,虽然他承认分析学的威力,但他相信能够赋予综合几何学以同样的威力。他说:解析方法的威力不在于运用代数而在于它的普遍性,这个优越性产生于这样的事实:从一个典型的图形发现的度量性质,对于由这个典型的或基本的图形派生出来的所有图形都仍然适用,顶多改变一下正负号。这种普遍性在综合几何学里能由连续性原理得到保证。

彭赛列是充分认识到射影几何学具有独特方法和目标的新数学分支的第一位数学家, 17世纪的射影几何学家讨论特殊问题,而彭赛列却考虑一般问题,探索几何图形在任一投影的所有截影所共有的那些性质,即在投影和截影下保持不变的性质,彭赛列也考虑一个空间图形到另一个空间图形的射影变换。

基于全国卷的研究,二者相辅相成,全国新课标卷一直注重几何分析,注重适度几何分析。

(三)结论:这里面用了第三定义的结论,这和中点弦结论是相通的,而椭圆的极限情况可以视为圆,就是圆垂径定理所产生的的斜率之积为是  1 相通的。既然圆中有很多性质,椭圆中也有很多性质,记住最核心的,《高观点下解析几何系统性突破》一书在突破运算一节,给出了核心结论(基本结论)。

(四)模型:几何结构蕴含着几何中一定的位置关系和相应的数量关系,一定的几何结构有相应的处理方式。这可以视为几何中的模型,在问题解决中,一旦辨识出几何模型,就发现了相应的关系和找到处理问题的方式,使得问题得到高效地解决。分离出、转化为一些基本的几何模型也是解决几何问题基本方法,《几何新观点、解析几何新视野》的工作就是分离出几何中最基本、最重要的一些几何模型,那什么是基本模型呢?与重要的几何元素相联系,比如圆中的直径与所对的圆周角构成的三角形,垂径定理构成的三角形,再比如焦点三角形、“阿基米德三角形”等,并进行分类、延伸和拓展,实现从宏观把握几何问题。

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