一评一思一涅槃——四两拨千斤

曲线内两垂直弦所产生的最值问题

例.（2017 全国1 卷理科第10 题）已知F 为抛物线C：y²=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁ 与C 交于A、B 两点，直线l₂ 与C 交于D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为？

A．16          B．14          C．12             D．10

解析：法一：（焦点弦长的坐标公式）

知道直线的横截距且斜率不为 0，故设 l₁为x = my + 1，

联立抛物线方程得 y² - 4my - 4 = 0，则有 y₁ + y₂ = 4m ，

【点评1】焦点弦长关于角的公式的推导如下：

变式1：已知F 为抛物线C：y²=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁ 与C交于 A、B 两点，直线l₂与 C 交于 D、E 两点，则由 A, B,D, E 构成四边形面积的最小值为？

A．16                B．14             C．12            D．10

解析：由焦点弦长关于角的公式知：

变式 2：（2009 全国 2 第 16 题）已知 AC、BD 为圆O: x² + y²= = 4的两条相互垂直的弦，垂足为M （1, √2）,则四边形 ABCD的面积的最大值为 ？

【解题反思】普遍性寓于特殊性之中：追求从一个题看到一类题，从抛物线看到了椭圆，在极坐标系下，结论是惊人的一致，体现了数学的和谐与美；同时要注意圆、抛物线本身的特殊性，选择相应最优的方法。联系具有普遍性、客观性和多样性：事物是相互联系，思想方法亦是如此，注意它们之间的共通性，能够更好地进行整合、抓住其本质。

基本问题的变式是训练的重点：弦长和面积皆为几何中的基本问题，求变，并强化这些基本问题的训练。

记住结论、秒杀：利用弦长关于角的公式等相关结论，常常可以秒杀全国卷诸多解析几何题目。圆锥曲线和圆一样，具有很多优美的性质，对一些常考的结论进行积累和应用。

【考试中心的试题评价】试题设计源于教材又高于教材，将抛物线的定义、两条直线垂直、直线被圆锥曲线所截得的相交弦长公式等知识有机结合起来，在重视对解析几何基础理论知识考查的同时，侧重考查了考生的逻辑推理能力和运算能力。本题已知条件的设计、符合广大考生的学习实际，给考生提供了多种分析问题和解决问题的思路，引导学生善于抓住解析几何问题的本质，在剖析问题本质的基础上，追求简洁的解题方式。本题的解题方法部分源于教材，难度适中，其灵活性主要体现在对抛物线概念的理解和应用上。

试题能较好地区分不同层次的考生，具有较好的选拔功能。而且试题的设计关注了新课程标准下解析几何部分内容的教学要求，有利于考查考生的逻辑分析能力、构图想象素养及运算求解能力。

参考《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

参考《解析几何的系统性突破》