高考数学：函数、几何、数列、圆锥曲线等五大模块的解题方法

高考数学大题考查的包括三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、函数与导数。

每类题都有对应的出题套路，每一种套路都有对应的解题方法：

一、三角函数

三角函数的题有两种考法，其中10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。

1. 解三角形

不管题目是什么，要明白，关于解三角形，只学了三个公式——正弦定理、余弦定理和面积公式。

所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。

2. 三角函数

然后求解需要求的。套路一般是给一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。

解决方法就是，首先利用“和差倍半”对式子进行化简。化简成 ：

掌握以上公式，足够了。关于题型，见下图：

二、立体几何

立体几何的相关题目，稍微复杂一些，可能会卡住一些人。

这个题目一般有2~3问，一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，以及求二面角。

这类题目的解题方法有两种：空间向量法和传统法。这两种方法各有利弊。

向量法：

使用向量法的好处在于：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。缺点就是计算量大，且容易出错。

使用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为AB=（a，b，c），然后进行后续证明与求解。

箭头指的是利用前面的方法求解。如果有些同学会觉得比较乱，以下为无箭头标注的图。

传统法：

在学立体几何的时候，有很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图中6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。

另外，还有一类题，是求点到平面距离的，这类题百分之百用等体积法求解。

三、数列

从这里开始，会明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，解决这类题目并不困难。

数列主要是求解通项公式和前n项和。

1. 通项公式

明确题目中给出的条件的形式，不同形式对应不同的解题方法。

通项公式的求法有以上8种，着重掌握1、4、5、6、7、8。其实4~8可以算作一种。除了以上8种方法，还有一种叫定义法，就是题中给出首项和公差或者公比，按照等差等比数列的定义进行求解。

但一般情况下，高考大题不会出这么简单的。

2. 求前n项和

求前n项和总共4种方法——倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法。遇到求前n项和类型的题目，可以从这四种方法考虑就可以了。

同样的，每种方法都有对应的使用范围。

当然，还有课本上关于等差数列和等比数列求前n项和的方法。在此就不列举了，请大家不要忘记。

四、圆锥曲线

高考对于圆锥曲线的考查也是有套路可循的。

一般套路是：前半部分是对基本性质的考查，后半部分考查与直线相交。当你对高考题目积累量足够多的时候，会发现，后半部分的步骤基本是一致的。即：设直线，然后将直线方程代入圆锥曲线，得到一个关于x的二次方程，分析判别式、韦达定理，利用韦达定理的结果求解待求量。

所以，学好圆锥曲线需要明白三件事。

1. 三种圆锥曲线的性质

大家在学习的过程中可以自行总结，以便加深记忆。

2. 求轨迹的方法

求动点的轨迹方程的方法有7种，下面将一一介绍。一般情况下，这部分考查的题目不会出特别难。

a）直接法（性质法）

这类方法最常见，一般设置为第一问，题干中给出圆锥曲线的类型，并给出部分性质，比如离心率、焦点、端点等，根据圆锥曲线的性质求解a,b。

b）定义法

即题目中给出的条件，其实是某种我们学过的曲线的定义。这种情况下，可以根据题目描述，确定曲线类型，再根据曲线的性质，确定曲线的参数。

各曲线的定义如下：

到定点的距离为定值的动点轨迹为圆；

到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹为椭圆；

到两个定点的距离之差为定值的动点轨迹为双曲线；

到定点与定直线的距离之比为定值的动点轨迹为圆锥曲线，根据比值大小确定是哪一种曲线。

c）直译法

顾名思义，就是直接翻译题目中的条件。将题目中的文字用数学方程表达出来即可。

d）相关点法

假如题目中已知动点P的轨迹，另外一个动点M的坐标与P有关系。可根据此关系，用M的坐标表示P的坐标，再代入P的满足的轨迹方程，化简即可得到M的轨迹方程。

e） 参数法

当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，可以先找到x、y与另一参数t的关系，再消去参变数t，得到轨迹方程。

f） 交轨法

若题目中给出了两个曲线，求曲线交点的轨迹方程时，应将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。

g）点差法

只要是中点弦问题，就用点差法。

3. 与直线相交

这道题目一般为必考，而且每年形式基本都一样。

大概是这样：有一条直线，与这个圆锥曲线相交于两个点A,B，问balabala……

首先，从理论上说说这道题的解题步骤：

步骤1：先考虑直线斜率不存在的情况。求结果。（此过程仅需很简短的过程）

步骤2：设直线解析式为 y=kx+b（随机应变，也可设为两点式……）

步骤3：一般，所设直线具有某种特征，根据其特征，消去上式中k或b中的一个。

步骤4：联立直线方程和圆锥曲线方程，得到：

步骤5：求出判别式△ ，令 △>0（先空着，必要时候再求 △>0 时的取值范围）

步骤6：利用韦达定理求出 x1x2，x1+x2（先空着，必要时再求y1y2）

步骤7：翻译题目，利用韦达定理的结果求出所求量。

我们可以以下面的题目为例，看一下解题步骤。

如果考试时间充足的话，计算量最大、最消耗时间的地方，也是需要计算的。如果时间来不及，可以暂且放下。

五、函数与导数

这一类题型以求导然后分析函数为主。导数这部分的步骤是比较固定的。

导数与函数的题型，大体分为三类。

1. 关于单调性，最值，极值的考查。

2. 证明不等式。

3. 函数中含有字母，分类讨论字母的取值范围。

无论是哪种题型，解题的流程只有一个。如下图所示：

例题比较简单，但是注意两点：一是任何导数题的核心步骤都是以上四步；二是时刻提醒自己定义域。

上面的例题属于第一类题型。

第二类题型，证明不等式。需要先移项，构造一个新函数，可以使不等号左边减去右边，构成新函数。

利用以上四个步骤，分析新函数的最值与0的大小关系，可以得证。此为作差法。

还有一种方法叫作商，即左边除以右边，其结果与1做对比。不过此方法不建议使用，因为分母有可能为0，或者正负号不确定。

除此之外，还要注意逻辑。如果证明 A ≤ B，新函数设为 A - B，那么，需要 A - B的最大值小于等于0。

第三类问题，求字母的取值范围。先闭着眼睛当成已知数算，算完以后列表，针对列表中的结果进行分情况讨论。（一般，题目都会写明字母不为0）

以上就是总结的题型和解题套路，当然并没有把所有的题型总结完，只是提出一个思路和解方法，大家可以参考以上模式自行总结。