2021中国台湾数学奥林匹克平面几何

在⊿ABC中，I为内心，D为内切圆在BC边上的切点，作D关于I的对称点D’，已知AD’=ID’.以D’为圆心，AD’为半径作圆Γ与AB、AC分别交于点X、Y≠A.过A作AZ⊥BC，与Γ再次交于点Z.求证:AD、D’Z、XY三线共点.

证明: 如图1所示，延长AD’交BC于点K,过点D’作BC的平行线分别交AB、AC于点R、S.连IX、IY、IB、IC、D’X、D’Y.下面先证明BD=CK，XY//BC.

显然RD’/BK=AR/AB=AS/AC=SD’/KC.

另一方面由熟知的结论有⊿IRD’∽⊿IBD, ⊿ISD’∽⊿ICD,有ID·ID’=BD·RD’,

ID·ID’=CD·SD’,综合起来就有BD/CD=CK/BK,所以BD=CK.

显然IX=IY,D’X=D’Y，于是ID’⊥XY，由已知条件显然ID’⊥BC,所以XY//BC.
如图2所示:由于D’为⊿AXY的外心，AZ⊥XY,由熟知的结论，AZ和AD’为∠XAY的等角线，同时也是∠BAC的等角线，于是AD’过外心O.延长AZ交⊿ABC外接圆与点P，延长AK交外接圆于点T，连接OP.

于是AP、AT为∠BAC的两条等角线，所以PT//BC.由于CK=BD，而OT过点K，所以OP过点D.由已知条件，AD’=ZD’，而PO=OA，所以⊿AZD’∽⊿APO.

显然⊿AXY∽⊿ABC为位似图形，位似中心为A.XY与BC，ZD’与PO，AD与AW分别为位似对应边.由OP、BC、AD相交点D知AZ、ZD’、XY共点于W.

命题得证！

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