教你用最简单的方法来计算原子弹威力，连公式都不用
话说1945年7月16日，老美通过曼哈顿计划，在新墨西哥成功爆炸了第一颗原子弹，这样重要的核试验有个最关键的数据就是，此次核爆的TNT当量大概是多少。当时曼哈顿阵营里有个大牛叫费米，他在现场只通过扔了一把纸片就大致估算到了爆炸当量。但是当时原子弹的研制仍然是绝密，首次核爆的当量参数更是最高的保密级别，费米作为曼哈顿计划的核心科学家，自然是不可能当时就把这样的数据公布出去的。
曼哈顿计划的产物
可是美国人还是有点不甘寂寞，1947年，他们公布了当时核爆瞬间的一系列带有时间戳的照片。老美当时目的应该是要给老苏一个警示，告诉他老子手里有原子弹，威力很大，想放几颗就放几颗。你还没有这玩意，最好安分一点。可是万万没想到，就是老美这看似人畜无害的照片，泄露了这个最大的机密。有科学家仅仅就根据这几张照片就估算出了这颗原子弹的爆炸当量。把老美气个半死。
费米大师
这位伟大的科学家就是英国的科学家G. I. Taylor，他用了一个简单的办法就破解了老美的所谓绝密消息。
从我们接触到科学领域开始，无论是物理，还是化学，都有一个完美而可靠的定律在指引着我们前进，这就是质量守恒定律。啊，这个定律无数次在学生时代做题迷茫的时候给了我们灵感。比如，你做实验的时候如果反应之前的质量是100克，反应之后的产物你怎么测量都只有95克，那不用说了，你肯定还有物质没有测量到，你必须要确保反应之前的物质总质量和反应完成之后的总质量相等，这才算是完成实验数据的初步分析，否则，你就一定得不到正确的结果。
破解原子弹威力的人 泰勒
然而守恒定律可不仅仅在质量，能量上成立，在某些科学家们千方百计总结出来的公式上一样严格遵守着守恒关系，这就是量纲守恒关系。
拿牛顿的第二定律来说，F=ma。右边的m质量单位是kg，a加速度的单位是m/s²，于是两个量乘起来的单位就是kg·m/s²，这个单位有点复杂，于是物理学界就用牛爵士的大名作为力的单位N，1N就是1kg·m/s²。在这里呢，我们可以称为加速度a的量纲是长度/时间的平方。而作用力的量纲是质量乘长度/时间的平方。
牛顿第二定律的量纲分析
再比如一个运动物体动能的公式是E=1/2mV²，那么能量E的单位就是kg·m²，这个单位也不好记，于是我们取了个名字叫焦耳J。
看了上面的例子，你觉得好像也没啥大不了的啊，不就是在定义各种物理量吗？这些工作不是早就有很多大神们做过了嘛。
我们在具体某些问题上推导公式的时候，比如上面的E的推导过程，公式里计算推导过程复杂，可能一不小心就会出错。那么在你推导过程中，不妨停下来，分析一下等式的右边是不是满足关于E的量纲是否正确，如果你发现，嗯？怎么这里不是kg·m²，那毫无疑问，你在这一步的推导就肯定是错误的，你必须要修改直到满足能量E的量纲为止。
Edgar_Buckingham
我们把上面的分析过程叫作量纲分析，这在物理学上是一个很有用的研究方法。1914年， 美国物理学家白金汉（Edgar_Buckingham，跟白金汉宫没有半毛钱关系，这个名字真牛）总结了关于量纲分析的重要定律，我们现在叫作白金汉π定律（怎么又跟π有关系？）。在这个定理中，白金汉给出了这样的结论：
白金汉π定理定义
大家不要被定理的描述吓到。尤其是最后的(1)式，白金汉从理论上证明了这个式子的正确性，深刻揭示了一个系统的物理关系式。只要把影响系统某个物理量的全部基本量纲列举出来，那么这个物理量与这些基本量纲之间就存在（1）的关系式。动能定理如此，力的表达式也是如此。在物理学上，目前只有7个基本量纲，也就是说任何一个复杂的物理系统，背后都是这7个量纲在相互作用。这7个量纲分别是长度L，质量M，时间T，电流I，温度Θ，物质的量N，发光强度J。
核爆瞬间
白金汉π定理在某些用常规分析难以得到具体等量关系的场合往往会起到奇效，你看这个（1）式就是一个很普通的幂齐次方程，这里即没有复杂的微分表达式，也没有困难的表示方法。它就是如此简单，却如此通用。
这个定理如此神奇，下面来说说泰勒是如何通过这个定理破解老美原子弹威力的吧。
大师的本名叫G. I. Taylor，是数学和物理的两把好手，被誉为20世纪最伟大的科学家之一。
泰勒大师
他接受了这个任务，第一感觉是这个应该是流体力学方面的问题，由于他深厚的物理数学背景，很快就将这个问题转化成几个联立的微分方程组。但是这些方程都是偏微分方程，在那个时代，你最多就只能用微分方程来表示这样的物理关系，至于求解，基本上不太可能，那个时代计算机的算力还不足以来做数值解。列出这样的微分方程并不能产生任何实质性结果。
流体力学方程求解很困难
这个看起来不太好整啊，于是他开始另辟蹊径，采用曲线救国的方式。突然他就想到了这个白金汉π定理，于是他做出试探性的分析。
这个照片上只有核爆开始的时间，以及这个时间的核爆球体直径大小。照片上是6ms时，核爆球直径就有160米了。假如威力越大，在同样的时间里，核爆直径肯定比160米大了。于是他得出，核弹的爆炸半径肯定与爆炸当量相关。毫无疑问，爆炸时间越短，爆炸直径越大，那威力肯定就越大。
核爆瞬间冲击波球面
另外作为流体力学大师的泰勒还注意到一个细节，在爆炸球面内外，空气的密度肯定也是不同的。假如外面空气密度ρ越稀薄，那么核爆球的膨胀速度肯定也快。泰勒又想了想，密度不就是质量/体积嘛。那现在就已经集齐了能量的基本量纲了，分别是长度L,时间T。我们来根据白金汉π定理列个式子,这里的密度ρ的量纲是m/l的立方。
等式2
这里的E=1/2mV²,于是E用量纲表示就是E=ML²/T²,密度ρ用量纲表示，ρ=M/L³。时间t量纲就是T。当然你也可以把E放在等式的左边，只要保证两边量纲一致就行。
于是我们把两边的量纲统一起来，就得到
等式3
很显然，从量纲守恒的概念出发，我们就可以列举出一个关于x,y,z的方程组。
等式4
由(4)式就能得到，x=1/5,y=-1/5,z=2/5。把这个结果带到(2)式中，于是我们就得到爆炸当量的表达式了。
等式5
这里的C是一个常系数，我们暂且认为是1，这里的R,t都是照片已知的，至于空气密度更是一个烂大街的参数。ρ=1.2kg/m³。于是下面大招就出现了
等式6
而1吨TNT的爆炸能量也是一个已知量为4×10^9 j,于是这个原子弹爆炸当量大概相当于2.5万吨TNT的当量，而美国人爆炸的第一颗原子弹的真实当量是2.1万吨TNT！当时老美就震惊了，自己绝密的数据是怎么泄露出去的，难道是内部出现了间谍？
秘密到底是怎么泄露的？
1947年，苏联科学家 L.I.Sedov也独立进行了这样的研究，当时他是苏联原子弹研制委员会的成员，但是他并没有保密，而是直接发表在公开的学报上了。于是，全世界都知道了原子弹的当量在万吨级TNT当量左右。话说回来，当初那个决定发表照片的编辑一定感到痛心疾首，发照片就发照片，我加时间戳干嘛？
苏联核物理学家 L.I.Sedov
在泰勒做的这个研究里，他没有用到任何复杂的方程，甚至没有用到一点高端的物理学知识。仅仅只是密度，体积这些基本物理量就解决了一个被认为是绝密的数据。可见白金汉π定理在解决某些问题上带来的某些独到的便利。
当然这个定理的运用也非常需要技巧，不是说任何一个物理系统就可以随便使用。比如，泰勒凭什么就认为空气密度也会影响到爆炸当量值呢？那都是在充分了解物理问题本质的前提下才下的结论。而这些都是非常需要深厚的学识的，稍不留心就会误入歧途，得出的结论牛头不对马嘴。
必须要充分了解系统内容才可以试探性使用白金汉π定理
所以白金汉π定理更像是在你用常规方法都不能有效解决问题的前提下，给你提前准备另外一把可能解决的秘密武器。但是怎么运用还是要看你本身的造化和能力了。所以，年轻人，还是好好学习，或许哪天你真的就可以用这个神奇定理去解决一个看似不可能完成的问题！