迷人的特殊素数

最近,一位来自美国佛罗里达州的业余数学爱好者,发现了人类已知的最大素数2^82589933-1;该数有24862048位,如果用普通字号将它打印下来,其长度将超过100公里!有关专家认为,这是数学领域的一项重大突破。

众所周知,数学的起点是自然数,自然数的基础是素数(prime numbers)。素数又称质数或不可约数,是指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,无法被其他自然数整除的数;换句话说,就是该数除了1和它本身以外不再有其他约数的数。比1大但不是素数的数称为合数,1和0既非素数也非合数,而合数是由若干个素数相乘而得到的。

2300多年前,古希腊数学家欧几里得已证明素数有无穷多个,如2、3、5、7、11、13等等。由于素数具有许多独特性质,它一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者;人们对它的认识和研究有一个过程,是逐步深化的。在数学中,有几种特殊素数十分迷人。

梅森素数

形如2^P-1(即2的P次方减1,其中指数P为素数)的数,称为梅森数。它是以17世纪法国数学家梅森(M. Mersenne)之名命名的;如果梅森数是素数,就称为梅森素数,如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。

梅森在欧几里得、费马等人有关研究的基础上,对2^P-1z做了大量的计算和验证,并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言:在不大于257的素数中,当P=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 时,2^P-1是素数,其他都是合数。前面的7个数(即2、3、5、7、13、17、19)已被前人所证实,而后面的4个数(即31、67、127、257)则是梅森自己的推断。当时有人相信梅森的断言(也称“梅森猜想”)是正确的,但后来人们才知道他的断言其实包含着若干错漏。

在手算笔录年代,人们历尽无数艰辛,一共只找到12个梅森素数。而电子计算机的出现,尤其是网格计算时代的到来,大大加快了梅森素数探究的步伐。至今人们已找到51个梅森素数,其中最新最大的是2^82589933-1;该数也是人类已知的最大素数。目前全球有近70万人参与一个名为“互联网梅森素数大搜索”的国际合作项目,动用了超过185万核中央处理器,联网来寻找新的梅森素数。

在梅森素数的基础研究方面,法国数学家卢卡斯(F. Lucas)和美国数学家雷默(D. Lehmer)都作出了重要贡献;以他们命名的“卢卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森数素性的最佳方法。另外,中国数学家及语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式;这一研究成果被国际上誉为“周氏猜测”,并受到了很高的评价。

17世纪法国数学家梅森

费马素数

形如2^(2^N)+1(其中指数N为非负整数)的数称为费马数,它是以17世纪法国数学家费马(P. Fermat)之名命名的;如果费马数是素数,就称为费马素数,如2^(2^0)+1=3、2^(2^1)+1=5、2^(2^2)+1=17、2^(2^3)+1=257等。

费马于1640年提出一个猜想:2^(2^N)+1的数一定为素数,但他并没有给出一个完全的证明。1732年,瑞士数学家及物理学家欧拉(L. Euler)在研究这个问题时发现,2^(2^5)+1=641×6700417不是素数;这意味着它是一个合数,因此费马猜想是错误的。以后人们又陆续找到了不少反例,如2^(2^6)+1=274177×67280421310721、2^(2^7)+1=59649589127497217×5704689200685129054721等。迄今为止,费马素数除了被费马本人所证实的那5个外,竟然没有再发现一个!

目前,许多数学难题的研究都是利用计算机的高速运算功能来进行的,但即使如此,所得结果也很有限。例如,目前只知道5个费马数是素数,并发现226个费马数是合数,但这对于无限个费马数来说,可以说知之甚少。

顺带一提,费马小定理是现代素数判定方法的基础,如果该定理的逆命题成立的话,那么判别素数就变得很容易了。不幸的是,费马小定理的逆定理并不成立,使之不成立的合数称为伪素数,可见伪素数在数学的研究中占有重要地位。

实际上,千百年来,人们一直在寻找这样一个能求出所有素数的公式。但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在。虽然费马猜想失败了,但有意思的是,1801年德国数学家及物理學家高斯(J. Gauss)却证明了参照费马素数,可以用直尺和圆规将圆周等分;他本人就据此作出了正十七边形。

孪生素数

孪生素数也称为双生素数,是指一对素数,它们之间相差2,如(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)等。目前已知的一对最大孪生素数为2996863034895×2^1290000±1;它有388342位数,是在2016年9月发现的。

在手算笔录年代,人们历尽无数艰辛,一共只找到12个梅森素数。

费马素数除了被费马本人所证实的那5个外,竟然没有再发现一个!

欧几里得是最早注意到孪生素数这种有趣现象的人,他曾大胆猜想:存在无穷多对孪生素数。这一猜想被称为“孪生素数猜想”。

法国数学家波利尼亚克(A. Polignac)在1849年提出了更一般的猜想(即“波利尼亚克猜想”):对所有正整数K,存在无穷多个素数对(P,P+2K)。K等于1时就是孪生素数猜想,而K等于其他正整数时就称为弱孪生素数猜想(即孪生素数猜想的弱化版)。因此,也有数学家把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。

英国数学家哈代(G. Hardy)和李特尔伍德(J. Littlewood)在1921年提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想,现在通称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”(即孪生素数猜想的强化版)。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对,而且还给出其渐近分布形式。由于孪生素数的分布极不均匀,并且随着数的增大变得越来越稀疏,研究孪生素数分布模式的难度也就非常之大。

值得一提的是,在孪生素数的基础研究方面,美籍华人数学家张益唐取得了重大突破;他在2013年证明:存在无穷多个之差小于7000万的素数对。虽然7000万貌似一个非常大的数字,但不管数字多大,有限范围的存在意味着,相连素数之差并不是一直增长的;而且,从2到7000万的跨越,与7000万到无穷大的跨越不可同日而语。

回文素数

回文素数(palindromic primes)是指既是素数又是回文数的整数,如十进制中的11、101、131、151等。除了最小的回文素数11,偶数位的数不存在回文素数。人们已知:两位回文素数1个,三位回文素数15个,五位回文素数93个,七位回文素数668个,九位回文素数5172个。目前已知最大的回文素数有320237位数,是在2014年3月发现的。

需要指出的是,回文素数与记数系统的进位制有关。目前,人们还不知道在十进制中是否有无穷多个回文素数;在二进制中,回文素数包括梅森素数和费马素数。

这些特殊素数有的具备实用价值(如梅森素数),有的还看不到任何实用价值(如孪生素数)。不管怎样,它们都是著名的数学难题。探究这些难题,揭开其奥秘,正是人们长久以来的科学追求。正如德國数学家希尔伯特(D. Hilbert)所言:“我们必须知道,我们必将知道。”

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