中考数学几何探究：母子三角形

要说这道题还是有点小变态的，后面有几个点确实是不太容易想到，但这正是我们需要思考学习的地方。

解析：

（1）一个三角形相似即可搞定，不再多说；

（2）这个小题中有个平行四边形，那么可知BC=AD，要求出AD也就是BC，而题中给出的条件是BF和BE，这两个线段结合BC一下子就能够联想到第一小题的结论，即BF²=BE·BC，只要这个关系式成立，即可解出BC

那么要得到这个关系式，则需要三角形相似

即△BEF和△BFC

首先公共角∠CBF存在，而∠C=∠A=∠BFE

所以相似成立

则BF²=BE·BC成立

可解除BC长度，即AD可得；

（3）这一小题就是最难的一部分了，当你看到AC=2EF时，很容易联想到中位线，但是如果你做出中位线了，又会发现毫无用处，所以这个2倍关系不是为了中位线，那么就可能是用来做线段比例或者构造中点使用；

既然是探究题，那么很可能还是利用前面的结论，所以我们先找找母子三角形，我们先假设DE、DF和AC的两个交点吧

结合∠EDF=∠BAD的一半，可知∠EDF=∠ACD

联合公共角∠DMC

可得△MDN∽△MCD

这样就有DM²=MN·MC

但是全未知，所以求不出

这个时候看看条件，还有个AC=2EF没用上，这个条件，中位线显然不行，所以只能构造线段中点，

要么在AC上截取EF长度，要么在EF上补充出AC长度

而且题上给出的是线段DF长度，说明必定要用到DF，

如果在AC上截取EF长度出来，DF是用不上的，所以我们延长EF，给它补出一个AC长度来，很明显可以构造一个平行四边形出来

如图，我们延长EF和DC，交于H，则可得AEHC是平行四边形，所以AC=EH=2

如果我们知道DH的长度，不就可以知道CD了吗？

那么还剩下一个条件没用上，即DF=5，要把DF用上，

DF是△DEF的边

而EH=2EF，F是EH中点

根据AC//EH可知

△EDF和△EHD也是相似的，这样一来不仅能用上前面的结论，还能将DF放入线段比例

所以可得DE²=EF·EH，DH：DF=DE：EF

只要有DE和EF的关系就OK了

而DE和EF刚好出现在DE²=EF·EH中，

根据EH=2EF

可知DE=√2EF

现在二者关系有了，

所以DH：DF=√2:1

那么DH=5√2

而CH=AE=2

所以CD=DH-CH=5√2-2