2021伊朗IMO代表队选拔考试 中文翻译

第一次考试

第一天

1.锐角非等腰中, 的外角平分线与交于点. 过分别作的外接圆的切线. 过点的直线与分别交于点. 已知 过的圆与过的圆交于点 ,直线 交于点. 求证: 直线为  的平分线.

2.在简单的连通图中, 设度数为的顶点个数为. 设为中最大的度数.
求证: 若, 则必存在一个度数为的点, 使得移除这个点之后, 中剩下的点和线段仍组成一个连通图.

3.四个正整数满足, 且他们两两互素. 积性函数 满足, 对任意正整数, 均有

证明以下命题中至少有一个成立:
对任意正整数, ;
存在正整数, 使得对任意满足的正整数, 均有;
注: 若函数满足对任意正整数均有, 就称是积性函数.

第二天

4.设分别为正整数的最大素因数和最小素因数. 阿里热扎和阿明觉得玩一个游戏. 首先, 阿里热扎选定个整系数多项式, 组成集合. 随后阿明从中选择个, 组成集合. 若对任意, 都有下式成立, 则阿明获胜:

问谁有必胜策略?

5.若三个实数中, 其中一个是另外两个数的平均数, 就称这是一个"好的"三元数组. 已知个互异的实数可以组成个"好的"三元数组. 求证: 可以把这个数划分为两个部分, 每部分都是等差数列, 且公差相同.

6.在的欧拉线上取一点,且在三角形内部. 直线分别和边交于点. 在直线上取点, 使得 , 且在同侧. 的外接圆再次相交于点. 直线交于点. 求证: .

第二次考试

第一天

1.在一个无限大的网格表中放置若干正整数, 使得每个单元格中的数字等于他的相邻单元格中含有与其相同数字的单元格的个数. 这里的相邻指有公共顶点.
求这个网格表中互异的数字个数的最大值.

2.求所有函数, 使得对任意正整数, 均有

3.求证: 存在两个互素的整系数多项式, 以及实数, 使得:
若正实数满足

则
注: 两个多项式互素, 指着两个多项式没有相同的实根.

第二天

4.求所有函数 , 使得对任意正整数, 均有

5.在非梯形的四边形内部取一点 ,使得. 过作垂线, 与

平分线交于点, 过作垂线, 与平分线交于点,  已知 , , 的外心在直线上.
求证:  .

6.对一个基数为的集合, 我们用八种颜色对其所有基数为的子集染色. 求证: 存在一种染色方法, 使得不存在个同色的子集, 满足: