布洛卡点问题

如图，若△ABC内一点P，满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为三角形的布洛卡点

近年来以布洛卡点为背景的题型较多，利用相似三角形及性质解决此类问题

例1.：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为AC中点AE⊥BD交AC于点E，连接CE。

(1).求证：BE=2AE

(2).求证：CE²=AE.BE

分析(1)∵AE⊥BD，点D为AC中点

∴AB=AC=2AD

易证：△ABE～△DAE

∴BE/AE=AB/AD=2

∴BE=2AE

(2)作CG⊥AE，交AE延长线于点G(构造全等三角形)

易证：△ABE≌△CAG

∴AE=CG，BE=AG，由(1)问得

BE=AG=2AE

∴AE=EG=CG

∴∠GEC=45°

∴∠BEC=90°+45°=135°

∴∠BEC=∠CEA=135°

易证：△BEC～△CEA

∴CE/AE=BE/CE⇒CE²=AE.BE

例：2.(2019安徽中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°

①求证：△PAB～△PBC

②求证：PA=2PC

③若点P到三角形三边AB，BC，CA的距离分别为h₁，h₂，h₃，求证：h₁²=h₂.h₃

分析：（1）由题意得：∠1+∠3=45°

∠2+∠3=45°，∴∠1=∠2

易证：△PAB～△PBC

（2）如图∵△PAB～△PAC

∴PA/PB=PB/PC=AB/BC=√2

∴PA=√2PB，PC=√2/2.PB

∴PA=2PC

(3)如图，∠1=∠2

易证：△ADP～△BEP

∴h₁/h₂=PA/PB①

易证：∠3=∠4

∴△AFP～△BDP

∴h₃/h₁=PA/PB②

∴h₁/h₂=h₃/h₁⇒h₁²=h₂.h₃。（方法不唯一）

例3.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点P是△ABC内部一点，满足，∠PAC=∠PBA=∠PCB，△PAC、△PBA、△PCB面积分别为S₁、S₂、S₃，求：S₁：S₂：S₃

分析：由题意易证：△PBA～△PCB

∴PB/PC=PA/PB=AB/BC=√2

∴PB²=PA.PC，S₂：S₃=(√2)²：1²=2:1

∵∠PAC=∠PCB

易证：∠APC=90°，

设：PC=x，则PB=√2x

由PB²=PA.PC得：PA=2x

∴AC²=PA²+PC²得：AC=√5x

∴S△ABC=1/2.AC²=5/2.x²

S₁=1/2.PA.PC=x²

∴S₁=2/5.S△ABC

∴S₁：S₂：S₃=2:2:1