连载 | 弧度制教学中相关问题（一）

开场白

本文思考并初稿于2018年夏天，后来逐渐修改，但基本定型已经快两年了，一直没有公开发布是因为在投稿审理中。目前的知道的进展是，在最近一期的首师大学报上会发表，当然由于版面篇幅的原因会压缩三四千字（仍然要感谢编辑愿意发这么长的文章）。现在发布的理由是：符合这个公众号的主旨；受到一个好友林老师的启发，要发表一些自己认真研究过的意见；想把原来的所有文字，哪怕是不简练的，都公开出来；再不发布与当初的思考动机似乎没有时效性了，虽然教学中的那些问题好象仍然随处可见；此时发布也与刊物的第一发表同步。文章总量是一万五千字左右，分四部分发布，算是啰嗦的文章了。原因是在形成过程中，总受到提问，便作了多方面思考论证。本质上讲，是我自己回答自己的疑问，也可能仅是自圆其说，见笑方家。

摘要: 在中学数学基础上,以问答形式,讲解弧度制教学中涉及的数与量、数的十进制与六十进制表示、角的大小与度量、弧度制与角度制、三角函数等概念,特别理清数与量的不同,讨论角的大小与度量的差别,辨析弧度制学习和教学过程中一些疑惑,指出2017版高中“课标”的案例3中对弧度制存在的误解.

关键词: 弧度制, 角度制, 十进制, 角的大小.

致谢: 文章的起因得益于保继光教授的鼓励. 修改过程中,与王安教授、鲁自群教授进行了讨论, 得到了有益建议. 张英伯教授、李克正教授浏览了初稿. 张晓声教授、范兴亚博士以及其他研究生提供了修订意见, 林开亮教授给予了发布鼓励.

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1. 弧度制教与学中的疑惑与误解

在中学数学教学中,“使用弧度制的好处”常常被提及,李忠“为什么要使用弧度制”[1]中,对弧度制的好处作了介绍.然而,仍然有学生甚至数学教师,对于弧度制及相关问题的理解存在疑惑甚至误解.疑惑与误解主要集中在是否只有弧度制才能使得三角函数成为实数到实数的映射,角度的数值是否是一个无量纲的比值,角度的数值是否是六十进制数,六十进制数是否是实数,等问题上.有些误解还涉及到函数、数量、数的进制、角的大小与度量等概念的理解.

误解既发生在重要文件中,如《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“课标”)中的案例3“引进弧度制的必要性”[3,P.111],也发生在研究论著[2,P.16-P.18]中(其内容与下面提到的“课标”案例基本一样),可见谬传不孤.在专业的中学数学教学讨论场合(某教师教育学院的研究生讨论班,讳名不具)也是误解颇深,至于其它公众流传的“360 问答”、“百度知道”、“作业帮”等,误解更是比比皆是.

在中学数学教学中经常提到的“为什么要引进弧度制?引进弧度制的必要性是什么?”实际上是想问:“使用弧度制有什么好处?”由于文[1]已回答了这个“问题”,本文把讨论延展为“弧度制教学中相关问题的问答”,目的是帮助教师和学生理清教学和学习中的疑惑和误解.文中的设问,大多来自与师生的真实讨论.文中所称中学数学是通常理解的含义,所称的教师和学生,分别指中学数学教师和中学生.每一个设问以黑体作标记.所用记号和名词是符合通常标准的.

问答从“课标”中的相关案例入手,将弧度制教学中的相关问题分类归结到函数、数与量、数的不同进制、角的大小与度量、单位圆上的三角函数定义、三角函数的对应关系,等几个方面,对教学中的疑惑和误解逐一展开问答式辨析.

为方便讨论,把“课标”中的案例3和案例2的主要内容原文抄录如下,并用下划线标明后面讨论将涉及的概念或者问题. (本文编辑时使用颜色标注)

“案例3.引入弧度制的必要性”[3,P.111]

【目的】理解弧度制的本质是用线段长度度量角的大小,这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位;进一步理解高中函数概念中为什么强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应,因为只有这样才能进行基本初等函数的运算(四则运算、复合、求反函数等),使函数具有更广泛的应用性.

【情境】对于三角函数的教学,为什么初中数学通过直角三角形讲述,而高中数学要通过单位圆讲述?这是必要的吗?

【分析】……初中三角函数是对直角三角形中的边角关系的刻画,其中自变量的取值是60进制的角度、不是10进制的实数,不符合对应关系的函数定义.事实上,初中学习三角函数是为了解直角三角形,并不讨论三角函数的基本性质.在高中阶段,借助单位圆建立角度与对应弧长的关系,用对应弧长刻画角的大小;因为长度单位与实数单位一致,这就使得三角函数的自变量与函数值的取值都是实数,符合对应关系的函数定义.

用角度作为自变量表示三角函数,还存在着一个突出的问题,就是自变量的值与函数值不能进行运算(例如, 与不能相加),阻碍了三角函数通过运算法则形成其他初等函数.此外,微积分中重要极限成立,也依赖自变量为实数.特别是,利用三角函数能够较好地描述钟摆、潮汐等周期现象,这时的自变量不一定是角度,可以是时间或其他的量.通过这样的教学,可以让学生感悟数学抽象的层次性.

“案例2.函数的概念”[3,P.108]

【分析】……例如,在匀速直线运动中(速度为),路程随着时间的变化而变化,因此路程是时间的函数,记为.再如,在单价、数量、总价的关系中,总价随着数量的变化而变化,因此总价是数量的函数,记为,通常把这样的表述称为函数的“变量说”.

但是,上述两个函数自变量的单位不同,不能进行加、减等运算.若舍去其具体背景进一步抽象,可以得到一般的正比例函数(为非零常数).于是,两个正比例函数就可以进行运算了,所得结果还是一般的函数.

到了高中,函数的概念表述为:给定两个非空实数集合和,以及对应关系,若对于集合中的每一个实数,集合中有唯一实数与对应,则称为集合上的函数,这个概念更强调实数集与实数集间的对应关系,通常把这样的表述称为函数的“对应关系说”.这样,不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算,函数研究的内涵和应用的范围得以扩展.

2. 函数的运算结果

现在从熟知的函数概念开始,讨论“课标”案例中涉及的疑惑和误解.

什么是函数?

中学数学中的函数,是实数集合上的一元实函数的简称,是实数的子集合到实数的子集合的一个映射.即是实数集合的子集合,则映射称作一个函数,也称是到的函数.更一般地,当集合是复数集合的子集合时,是复函数.当不限于数的集合,而是数的集合时,是一般函数.

上述定义中,集合与映射被当作是已知的逻辑基本概念.公理体系下的映射定义,是集合到的一个关系,是直积的一个子集合(参见[4,P.97]). 用关系来定义映射,能讲清楚映射中对应“法则”的确切含义,使函数意义更广泛,函数运算与复合的含义更清楚,多元函数定义更容易.

有一种现象值得提醒,在中学课本上,常常通过列出两个变化的量的对应数值表,然后说它们之间有函数关系(对应,映射).这实际上只强调了两个集合中的量,缺损了对确定法则的表述.否则我们可以较为广泛地发现,只要是变动的量,总是“时间的函数”,如此的结果你会发现我们什么结论也得不到,数学用于描述世界的功能在这样的背景下没有任何意义.要真正理解映射的对应,必须从到的关系来理解,此处不作深入讲解.

当说到函数时,既指函数的对应法则也可以指具体的函数值运算程序,柯朗在《什么是数学》中说[5,P.283],“有时候,数学家和物理学家对函数概念强调的地方是有所不同的.前者通常强调的是对应规律,即应用在自变量上,就得到因变量的数学运算.就这个意思来说,是一个数学运算符号;值是把运算应用于的结果.另一方面,物理学家通常更感兴趣的,是量而不是(通过能)计算出的值的任何数学程序.例如,空气对运动物体的阻力和速度有关,并且可以通过实验求出来,而不管是否有一个已知的可以计算的明显的数学公式.物理学家最感兴趣的是实际的阻力而不是任何具体的数学公式,除非研究这样的公式能够有助于分析量的性质.”

中学数学常说到函数表示的表达式法、图像法、列表法, 要说清函数图像的定义并不容易,说清一个图像如何确定一个函数也不容易,函数未必都有解析表达式,从有限几个点的函数值的列表不能唯一决定函数的表达式,已知几个点的函数值不可能确定函数的全局图像.要讲清这些问题,需要实数的连续性公理以及初等函数的连续性,此处不作深入讲解.

函数的运算结果是什么?

函数的运算结果不是一个数,而是一个新的函数,其函数值由函数值的运算得到.例如,函数加法:对于两个的函数

可以定义函数的函数为

即将映射到,或者,简称“和函数的值等于函数值的和”.对于函数和,当与不完全相同时,是不可以作加法运算的,但这种情况下,有时默认是的函数.类似的,当时可以对于函数和, 定义复合函数,使得,有时默认是的函数.

这样函数, 的和是函数,它们的一种复合是函数.

(未完待续)

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参考文献

1. 李忠,为什么要使用弧度制[J],数学通报,Vol.18(2009),No.48,1-3,7.
2. 史宁中,数形结合与数学模型——高中数学教学中的核心问题[M],北京:高等教育出版社,2018.
3. 中华人民共和国教育部,普通高中数学课程标准(2017年版)[M],北京:人民教育出版社,2017.
4. 张奠宙,张广祥,中学代数研究[M],北京:高等教育出版社,2006.
5. R.柯朗,H.罗宾, 什么是数学(左平,张饴慈译)[M],上海:复旦大学出版社,2005.
6. 亚历山大洛夫,数学—它的内容、方法和意义(第一卷)[M],北京:科学出版社,1984.
7. F.克莱因,高观点下的初等数学(第三卷)[M],北京:高等教育出版社,2006.
8. A.P.Kiselev's,GEOMTRY,BookI.PLANIMETRY[M],adapted from Russian by Alexander Givental.[EI Cerrito, Calif.]: Sumizdat, 2006.
9. 伍鸿熙著,赵洁,林开亮译,数学家讲解小学数学[M],北京:北京大学出版社,2016.
10. G.Klambauer著,孙本旺译,数学分析[M],长沙:湖南人民出版社,1981.
11. 梁绍鸿,初等数学复习及研究——平面几何[M],北京:人民教育出版社,1979.
12. 人民教育出版社编辑出版,初级中学课本平面几何(暂用本)第一册(第二版)[M],北京:人民教育出版社,1963.
13. 人民教育出版社,义务教育教科书四年级数学上册[M],北京:人民教育出版社,2014.
14. 人民教育出版社,义务教育教科书七年级数学上册[M],北京:人民教育出版社,2012.
15. 小平邦彦,数学I(日本高中数学)[M],长春:吉林人民出版社,1979.
16. 陈鸿侠,朱凤豪,三角学讲义[M],北京:科学出版社,1984.
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20. 人民教育出版社,高级中学试验课本数学II[M],北京:人民教育出版社,1993.
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