解读概率以及概率论悖论，原来简单的概率如此的深奥！
如今，“概率”一词在我们的生活中习以为常、随处可见，被人们使用得越来越广泛和频繁。
（图片来自网络）
因为这是一个越来越多变的世界：一切都在变化，一切都难以确定。我们的世界可以说是由变量构成的，其中包括很多决定性变量。比如新闻说：“北京时间2016年11月3日20时43分，长征五号在海南文昌成功发射”，这儿的时间地点都是确定的决定性变量。
然而，我们的生活中也有许多难以确定的随机变量，比如明天雾霾的程度，或百度的股票值，都是不确定的随机变量。
随机变量不是用固定的数值，而是用某个数值出现的概率来描述。正因为处处都有随机变量，因而处处都听见“概率”一词。你打开电视听天气预报，看看今天会不会下雨？气象预报员告诉你说：今天早上8点钟的“降水概率”是90%。你到手机上查询股市中的某种股票，你得到的信息可能是这种股票3个月之后翻倍的概率是67%。你满怀期望地买了50张彩票，朋友却告诉你，傻瓜才去白花这50块钱，因为你中奖的概率只有一亿分之一！你手臂上长了一个“肉瘤”，医生初步检查后安慰你，这块东西是恶性瘤的概率只有0.03%，万分之三而已！
（中国天气网上的一张降水概率图。图片来自网络）
生活中概率这个词太常见了，以至于人们不细想也大概知道是个什么意思，比如说，刚才的最后一个例子中，0.03%恶性概率的意思不就是说，“10000个这样的肉瘤中，只有3个才会是恶性的”吗？因此，在经典意义上，概率就可以被粗糙地定义为事件发生的频率，即发生次数与总次数的比值。更准确地说，是总次数趋于无限时，这个比值趋近的极限。
虽然概率的定义不难懂，好像人人都会用，但你可能不知道，概率计算的结果经常违背我们的直觉，概率论中有许多难以解释、似是而非的悖论。不能完全相信直觉！
我们的大脑有它的误区和盲点，就像开汽车的驾驶员视觉中有“盲点”一样，需要几面镜子来帮助克服，我们的思维过程中也有盲点，需要计算和思考来帮助澄清。概率论是一个经常出现与直觉相悖的奇怪结论的领域，连数学家也是稍有不慎便会错得一塌糊涂。现在，我们就首先举例说明经典概率中的一个悖论，叫做“基本比率谬误（base rate fallacy）”。
从一个生活中的例子开始。
王宏去医院做验血实验，检查他患上了X疾病的可能性，其结果居然为阳性，把他吓了一大跳，赶忙到网上查询。
网上的资料说，实验总是有误差的，这种实验有“百分之一的假阳性率和百分之一的假阴性率”。这句话的意思是说，在得病的人中做实验，有1%的人是假阴性，99％的人是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的人是假阳性，99％的人是真阴性。于是，王宏根据这种解释，估计他自己得了X疾病的可能性（即概率）为99%。王宏想，既然只有百分之一的假阳性率，那么，百分之九十九都是真阳性，那我在人群中已被感染X病的概率便应该是99%。
可是，医生却告诉他，他在普通人群中被感染的概率只有0.09（9%）左右。这是怎么回事呢？王宏的思路误区在哪里？
医生说：“百分之九十九？哪有那么大的感染几率啊。99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病被感染的正常比例是不大的，1000个人中只有一个人有X病。”
原来这位医生在行医之余，也喜爱研究数学，经常将概率方法用于医学上。他的计算方法基本上是这样的：因为测试的误报率是1%，1000个人将有10个被报为“假阳性”，而根据X病在人口中的比例（1/1000=0.1%），真阳性只有1个。所以，大约11个测试为阳性的人中只有一个是真阳性（有病）的，因此，王宏被感染的几率大约是1/11，即0.09(9%)。
王宏想来想去仍感糊涂，但这件事激发了王宏去重温他之前学过的概率论。经过反复阅读，再思考琢磨医生的算法之后，他明白了自己是犯了那种叫做“基本比率谬误”的错误，即忘记使用X病在人口中的基本比例（1/1000）这个事实。
谈到基本比率谬误，我们最好是先从概率论中著名的贝叶斯定理说起。托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes ，1701年–1761年）是英国统计学家，曾经是个牧师。贝叶斯定理是他对概率论和统计学作出的最大贡献，是当今人工智能中常用的机器学习之基础框架，它的思想之深刻远出一般人所能认知，也许贝叶斯自己生前对此也认识不足。因为如此重要的成果，他生前却并未发表，是他死后的1763年，才由朋友发表的。
（托马斯·贝叶斯。图片来自网络）
初略地说，贝叶斯定理涉及到两个随机变量A和B的相互影响，如果用一句话来概括，这个定理说的是：利用B带来的新信息，应如何修改B不存在时A的“先验概率”P(A)，从而得到B存在时的“条件概率”P(A|B)，或称后验概率，如果写成公式：
这儿“先验后验”的定义是一种“约定俗成”，是相对的。比如说也可以将A、B反过来叙述，即如何从B的“先验概率”P(B)，得到B的“条件概率”P(B|A)，见图中虚线所指。
不要害怕公式，通过例子，我们能慢慢理解它。例如，对前面王宏看病的例子，随机变量A表示“王宏得X病”；随机变量B表示“王宏检查结果”。先验概率P(A)指的是王宏在没有检查结果时得X病的概率（即X病在公众中的基本概率0.1%），而条件概率（或后验概率）P(A|B)指的是王宏“检查结果为阳性”的条件下得X病的概率（9%）。如何从基本概率修正到后验概率的？待会儿再解释。
贝叶斯定理是18世纪的产物，200来年用得好好的，不想在20世纪70年代遇到了挑战，该挑战来自于卡尼曼和特维尔斯基（Tversky）提出的“基础概率谬误”（Base-Rate Fallacy）。
（丹尼尔·卡尼曼。图片来自网络）
丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman，1934年－）是以色列裔美国心理学家，2002年诺贝尔经济学奖得主。基础概率谬误并不是否定贝叶斯定理，而是探讨一个使人困惑的问题：为什么人的直觉经常与贝叶斯公式计算的结果相违背？如同刚才的例子所示，人们在使用直觉的时候经常会忽略基础概率。卡尼曼在他的文章 《思考，快与慢》 中举了一个出租车的例子来启发人们思考这个影响人们“决策”的原因。我们不想在这儿深谈基础概率谬误对“决策理论”的意义，只是借用此例来加深对贝叶斯公式的理解：
某城市有两种颜色的出租车：蓝和绿（市场比率15:85）。一辆出租车夜间肇事后逃逸，但还好当时有一位目击证人，这位目击者认定肇事的出租车是蓝色的。但是，他“目击的可信度”如何呢？
公安人员经过在相同环境下对该目击者进行“蓝绿”测试而得到：80%的情况下识别正确，20%的情况不正确。也许有读者立刻就得出了结论：肇事之车是蓝色的几率应该是80%吧。如果你作此回答，你便是犯了与上面例子中王宏同样的错误，忽略了先验概率，没有考虑在这个城市中“蓝绿”车的基本比例。
那么，肇事之车是蓝色的（条件）几率到底应该是多少呢？贝叶斯公式能给出正确的答案。首先我们必须考虑蓝绿出租车的基本比例（15: 85）。也就是说，在没有目击证人的情况下，肇事之车是蓝色的几率只有15%，这是“A=蓝车肇事”的先验概率P(A)= 15%。
现在，有了一位目击者，便改变了事件A出现的概率。目击者看到车是“蓝”色的。不过，他的目击能力也要打折扣，只有80%的准确率，即也是一个随机事件（记为B）。我们的问题是要求出在有该目击证人“看到蓝车”的条件下肇事车“真正是蓝色”的概率，即条件概率P(A|B)。后者应该大于先验概率15%，因为目击者看到“蓝车”。如何修正先验概率？需要计算P(B|A)和P(B)。
因为A=车为蓝色、B=目击蓝色，所以P(B|A)是在“车为蓝色”的条件下“目击蓝色”的概率，即P(B|A) ＝80％。最后还要算先验概率P(B)，它的计算麻烦一点。P(B)指的是目击证人看到一辆车为蓝色的概率，等于两种情况的概率相加：一种是车为蓝，辨认也正确；另一种是车为绿，错看成蓝。所以：
P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%
从贝叶斯公式：
可以算出在有目击证人情况下肇事车辆是蓝色的几率=41%，同时也可求得肇事车辆是绿车的概率为59%。被修正后的“肇事车辆为蓝色”的条件概率41%大于先验概率15%很多，但是仍然小于肇事车为绿的概率0.59。
回到对王宏测试X病的例子，我们也不难得出正确的答案：
通过以上介绍的概率论中的基本比率谬误，我们初步了解了概率论中十分重要的贝叶斯定理及其简单应用。